点集拓扑学期末复习材料

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1、第五章有关可数性的公理①几种可数性的关系定理5.1.3每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。证明：设X是一个满足第二可数性公理的空间，Β是它的一个可数基。对于每一个x∈X，根据定理2.6.7，={B∈B

2、x∈B}是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族．于是X在点x处有可数邻域基．定理5.2.2每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明：设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个非空元素B中任意取定一个点.令D=B

3、这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个

4、不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集．定理5.3.l（Lindelöff定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindelöff空间．②可数性的定义定义5.1.1一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为空间。定义5.1.2一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间。定义5.2.1设X是一个拓扑空间，．如果，则称D是X的一个稠密子集．定义5.2.2设X是一个拓扑空间，如果X中有一个可数的稠密子集，则称X是

5、一个可分空间．定义5.3.1设A是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A是集合B的一个覆并且当A是可数族或有限族时，分别称集族A是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．定义5.3.2设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelöff空间．①可数性与序列定理5.1.8设X是一个拓扑空间．如果

6、在x∈X处有一个可数邻域基，则在点x处有一个可数邻域基使得对于任何有，即定理5.1.9设X是一个满足第一可数性公理的空间，.则点x∈X是集合A的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A－{x}中有一个序列收敛于x．②性质Ⅰ.拓扑不变性定理5.1.4设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个满的连续开映射．如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．Ⅱ.遗传性定理5.1.5满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．定理5.3.4Lindeloff空间

7、的每一个闭子空间都是Lindeloff空间。可分空间的任意开子空间是可分的。Ⅲ.有限可积性<除Lindeloff空间外>①特殊空间度量空间：R、：、、可分、Lindeloff离散空间：当X是可数集：、、可分、Lindeloff当X是不可数集：、非、非可分、非Lindeloff可数补空间：当X是可数集：当X是不可数集：Lindeloff、非可分、非（例5.1.1）、非第五章分离性公理①几种分离性的关系定理6.4.2每一个正则且正规的空间都是完全正则空间.定理6.4.1每一个完全正则空间都是正则空间.②分离性的定义及其等价定义X中每一个单点集都是闭集；　　X中每一

8、个有限子集都是闭集．拓扑空间X是正则空间如果及闭集，且，则存在开领域，开领域，使得。如果及开领域，开领域，使得。拓扑空间X是正规空间如果闭集，且，则存在，，使得.如果及开领域，开领域，使得。正则的空间称为空间，正规的空间称为空间．[Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．设X是一个拓扑空间．如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)＝0以及

9、对于任何y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间．完全正则的空间称为Tychonoff空间，或空间．③性质（了解）拓扑不变性T0T1T2T3T3.5T4正则正规可积性T0T1T2T3T3.5正则可遗传性T0T1T2T3T3.5正则对闭子空间可遗传性T4正规所有的分离性都不具有可商性。④特殊空间度量空间：有限补空间：当X为有限集：当X为无限集：是非平庸空间：当X为不少于两个点：非当X为单点集：⑤分离性与序列、聚点定理6.1.3　设X是一个空间．则点x∈X是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点,即U∩A是一个无限集．

10、定理6.1.4设X是一个空间．则X中的