函数重点难点突破

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1、函数中恒成立，存在性问题主干知识整合1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)∀x∈D，f(x)>C；(2)∀x∈D，f(x)>g(x)；(3)∀x1，x2∈D，

2、f(x1)－f(x2)

3、≤C；(4)∀x1，x2∈D，

4、f(x1)－f(x2)

5、≤a

6、x1－x2

7、.3．不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值①若不等式A

8、x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B>f(x)max⇔f(x)的上界小于B.(2)分离参数法①将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式；②求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值；③解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围．(3)转换成函数图象问题①若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象上方；②若不等式f(x)

9、于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象下方．探究点一∀x∈D，f(x)>g(x)的研究对于形如∀x∈D，f(x)>g(x)的问题，需要先设函数y＝f(x)－g(x)，再转化为∀x∈D，ymin>0.例1已知函数f(x)＝x

10、x－a

11、＋2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)求所有的实数a，使得对任意x∈[1,2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x＋1图象的下方．【点评】在处理f(x)>c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，

12、可以用分类讨论处理函数f(x)的最值．变式训练：已知f(x)＝x3－6ax2＋9a2x(a∈R)，当a>0时，若对∀x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．探究点二∀x1，x2∈D，

13、f(x1)－f(x2)

14、≤C的研究对于形如∀x1，x2∈D，

15、f(x1)－f(x2)

16、≤C的问题，因为

17、f(x1)－f(x2)

18、≤f(x)max－f(x)min，所以原命题等价为f(x)max－f(x)min≤C.例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的

19、值x1，x2，都有

20、f(x1)－f(x2)

21、≤c，求实数c的最小值．【点评】在处理这类问题时，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f(x)在区间D上的函数差的最大值小于c，如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题．探究点三∀x1，x2∈D，

22、f(x1)－f(x2)

23、≤a

24、x1－x2

25、的研究形如∀x1，x2∈D，

26、f(x1)－f(x2)

27、≤a

28、x1－x2

29、这样的问题，首先需要根据函数f(x)的单调性去掉

30、f(x1)－f(x2)

31、≤a

32、x1－x2

33、中的绝对值符号，再构造函数g(x)＝f(x)－ax，从而将问题转化为新函数g(x)的单调性．例

34、3已知函数f(x)＝x－1－alnx(a∈R)．(1)求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a＝1；(2)若a<0，且对任意x1，x2∈(0,1]，都有

35、f(x1)－f(x2)

36、≤4，求实数a的取值范围．【点评】∀x1，x2∈D，

37、f(x1)－f(x2)

38、≤a

39、x1－x2

40、等价为k＝≤a，再进一步等价为f′(x)≤a的做法由于缺乏理论支持，解题时不可以直接使用．况且本题的第(2)问不能把

41、f(x1)－f(x2)

42、≤4转化为≤4，所以这类问题还是需要按照本题第(2)问的处理手段来处理．规律技巧提炼在处理恒成立问题时，首先应该分辨所属问题的类型，如果是关于单一变量的恒成立问题，首先考虑参数分离

43、，如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理，那么可以选择分类讨论来处理；如果是关于两个独立变量的恒成立问题处理，只需要按照上探究点中所讲类型的处理方法来处理即可．　存在性问题1．在代数综合问题中常遇到存在性问题．与恒成立问题类似，存在性问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法．2．存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)∃x∈D，f(x)>C；(2)∃x∈D，f(x)>g(