2010新东方数学讲义电子版高等数学考研讲义第三章

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1、2010新东方数学讲义电子版高等数学考研讲义第三章一元函数积分学§3.1不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1、原函数与不定积分的概念设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若=f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为。其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积表达式。2、不定积分的性质设＝F(x)＋C,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。则(1)＝F(x)＋C或＝F(x)＋C(2)=f(x)或d＝f(x

2、)dx(3)＝k(4)=3、原函数的存在性设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如，，，，，等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二、基本积分表（略）三、换元积分法和分部积分法1、第一换元积分法（凑微分法）设70=F(u)+C=F[]+C这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。1、第二换元积分法设x＝可导，且，若，则其中t＝为x＝的反函数。2、分部积分法设u(x)，v(x)均有连续的导数，则＝u(x)v(x)－或＝u(x)

3、v(x)－（1）P(x)e，P(x)sinax，P(x)cosax情形，P(x)为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为；多项式部分为u（x）。（2）P(x)lnx，P(x)arcsinx，P(x)arctanx情形，P(x)为n次多项式取P(x)为，而lnx，arcsinx，arctanx为u（x），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。（甲）典型例题例1、求下列不定积分（测试题，限15分钟）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（）例2、求下列不定积分（1）（2）（a）（3）（）（4

4、）70解：（1）＝＝＝=（2）＝＝＝＝－（3）==（4）==＝例3、求解：＝6＝6＝6＝2=2-3例4、求70解一：＝＝＝－=-(这里已设x>0)解二：倒代换＝＝－原式＝－＝=(x>0)例5、求解一：＝x(arcsinx)—=x—2=x+2=x+2=x+2=x+2arcsinx－2x+C解二：令arcsinx＝t，则x＝sint，＝＝＝＝＋2tcost－2sint+C=x+2例6、设f（x）的一个原函数F（x）＝，求I＝解：I＝＝xf（x）－＝x70=－＋C例7、设，当x时f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)>0，求f（x）（x解：2＝2

5、＝而＝＝=+－＝＋＝＋C，，C=0，又，因此则f（x）＝＝例8、设＝，求I＝解一：令u=，则sinx＝，x＝arcsin，f(u)=则I＝＝－＝－2＝－2＋2＝－2＋＋C解二：令x＝，则，dx＝2costsintdt，则I＝70＝－2tcost＋2＝－2tcost＋2sint＋C＝－2＋2＋C70§3.2定积分和广义积分的概念与计算方法（甲）内容要点一、定积分的概念与性质1、定积分的定义及其几何意义2、定积分的性质中值定理，设f（x）在上连续，则存在使得定义：我们称为f（x）在上的积分平均值。二、基本定理1、变上限积分的函数定理：设f（x）在上连

6、续，则在上可导，且推广形式，设＝，可导，f(x)连续，则＝2、牛顿－莱布尼兹公式设f（x）在上可积，为f（x）在上任意一个原函数，则有＝＝三、定积分的换元积分法和分部积分法1、＝（x＝在上有连续导数，单调，）2、四、广义积分定积分的积分区间是有限区间，又f（x）在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f（x）推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。1、无穷区间上的广义积分定义：若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。70＝同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的

7、概念。＝＋＝＋2、无界函数的广义积分（瑕积分）(1)设f（x）在内连续，且，则称b为f（x）的瑕点。定义若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散。发散的广义积分没有值的概念。(2)设f（x）在内连续，且，则称a为f（x）的瑕点定义＝若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散，它没有值。（3）设f（x）在和皆连续，且，则称C为f（x）的瑕点定义＝＋＝＋（乙）典型例题一、一般方法例1、计算下列定积分（1）＝＋＝＋（xlnx－x）＝2（2）＝＋＋＝（3）＝＋＋＝（4）＝＝70

8、＝2＝2＝二、用特殊方法计算定积分例1、计算下列定积分（1）I＝（f为连续函数，f（sinx）＋f（cosx））（2）I＝（3）I＝（a