2015-2016高中数学 1.5.1曲边梯形的面积学案 新人教A版选修2-2

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1、1．5　定积分的概念1．5.1　曲边梯形的面积1．了解求曲边梯形的面积的方法．2．了解“以直代曲”和逼近的思想，借助几何直观体会定积分的基本思想．1．连续函数：如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a、x＝b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形(如图所示)．3．将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积S近似的表示为S＝S1＋S2＋…＋Sn，当n越来越大，即小曲边梯形越来

2、越多时，这些小曲边梯形的面积之和就无限趋近于曲边梯形的面积(如下图所示)．想一想：求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0，1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有小矩形的面积之和为________．解析：由题意得面积之和S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.1．函数f(x)＝x2在区间上(D)A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小解析：函数f(x)＝x2在区间

3、上，随着n的增大，f(x)的值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小．2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替(C)　　　　　　　　　　　　　　　　A．fB．fC．fD．f(0)解析：当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形的面积时，若将区间[－1，1]n等分，则每个小区间的长度为(B)A.B.C.D.2．在求由函数y＝与直线x＝1，x＝2，y

4、＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]等分成n个小区间，则第i个小区间为(B)A.B.C．[i－1，i]D.解析：把区间[1，2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，故选B.3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值(C)A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]D．以上答案均不正确解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C正确，故选C.4．在区间[1，10]

5、上等间隔地插入8个点，则将它等分成9个小区间，每个小区间的长度为1．　　　　　　　　　　　　5．对于由函数y＝x3和直线x＝1，y＝0围成的曲边梯形，把区间[0，1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi取值均为小区间的左端点)是(A)A.B.C.D.解析：S＝0×＋×＋×＝.6．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0，2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是　(B)解析：将区间[0，2]进行n等分每个区间长度为，故应选B.答案：38．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成曲边梯形，将区间[0，2]五

6、等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________．解析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.答案：3.92　5.529．求出由直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝围成的平面图形的面积．解析：圆(x－1)2＋y2＝4在第一象限的面积如下图：∠ACB＝，OB＝，面积S＝S△BOC＋S扇形AC

7、B＝＋×2×2×＝＋.10．求y＝x3与x＝0，y＝±2围成的图形的面积．解析：所求面积如图阴影部分，由对称性知S1＝S2，故所求面积为2S1.先求y＝x3与y＝0，x＝0，x＝2围成的面积S1′如下：(1)分割：将[0，2]分成n等份(i＝1，2，3，…，n)，每个小区间距离为Δx＝.(2)近似代替：ΔSi＝f(ξi)Δx＝Δx.(3)求和：S＝ΔSi≈Δx＝.(4)求极限：S＝＝＝＝＝4.所以由y＝x3，x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积S1′＝4，∴S1＝2×8－4＝12.故所求面积为S＝2S1＝24.