估计有关的习题和详细讲解

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1、.§估计基本题型Ⅰ矩估计法【例7.1】总体的概率密度函数为，求未知参数的矩估计.【分析】先由题设所给含有未知参数的随机变量概率密度求出数学期望，解出未知参数与数学期望的关系，再由样本一阶原点矩替换总体期望，即得参数的矩估计.【解】为求未知参数用总体原点矩表示的式子，先求出因而在上式中用样本一阶原点矩替换总体一阶原点矩，即得未知参数的估计.【例7.2】设总体服从均匀分布，为来自此总体的样本，求的矩估计.【分析】由于总体的分布中含有两个未知参数，故需要求出总体的两个矩，为简单起见，一般先求其一阶矩（即总

2、体的期望）和二阶矩（也可以取总体的方差），然后按矩估计法相应的样本矩替换它们，得矩法方程，最后求解便可得到的矩估计.【解】由于总体服从均匀分布，故总体的期望和方差分别为由矩估计法，用替换，用替换，便得矩法方程组，即于是解出的矩估计分别为，....【例7.3】设总体的概率密度函数为，求的矩估计.【分析】由于总体的分布中只含有一个未知参数，但总体的一阶矩为常量，需要求总体的二阶矩，从而确定矩方程，最后求解的矩估计量.【解】虽然总体只含有一个参数，但不含，不能求解故需求二阶原点矩.令，则有的矩估计量为.基

3、本题型Ⅱ极大似然估计法【例7.4】设总体具有概率密度函数，的极大似然估计量是.【分析】设为总体的观测值，则其极大似然函数为，对数似然函数为，解似然方程得参数的极大似然估计值为，从而得参数的极大似然估计量为.【例7.5】设总体的分布律为...又设为来自此总体的样本，记表示中取值为，的个数，求的极大似然估计.【分析】求极大似然估计量时，关键是求似然函数，它是样本观测值的函数.【解】设是样本的观测值，则参数的似然函数为对数似然函数为从而似然方程为.得的极大似然估计量.【例7.6】设为总体的一个样本，求下列

4、总体概率密度中的未知参数的极大似然估计,其中，为常数.【解】设是样本的观测值，则参数的似然函数为.取对数.对参数求偏导，令其为0，则.显然，上式第二式不能求出参数的关系，但由定义，当固定时，要使最大，只需最大，因，则参数的似然估计值为，从而得参数...的极大似然值为，故的极大似然估计量为，.基本题型Ⅲ评价估计量的标准（无偏性与有效性）【例7.7】样本取自总体，，则可以作为的无偏估计的是【】当已知时，统计量.当已知时，统计量.当未知时，统计量.当未知时，统计量.【分析】当已知时，为统计量，利用定义有.

5、从而，故.而所以当已知时，入选，不能入选.当未知时，样本函数，均不是统计量，因而不能作为的估计量，更不能作为无偏估计量.选.【例7.8】设是总体的简单随机样本，则下列不是总体期望的无偏估计【】.......【分析】要验证统计量是否为无偏估计，即验证.；；；；选.【例7.9】试证明均匀分布中未知参数的极大似然估计量不是无偏的.【分析】涉及总体分布时，先求估计量的概率密度（或分布律）.【解】设是样本的观测值，则参数似然函数为.是的一个单值递减函数.由于每一个，最大次序统计量的观测值在中要使达到极大，就要

6、使达到最小.但不能小于，否则样本观测值就不是来自这一总母体，所以是的极大似然估计值.故最大次序统计量是参数的极大似然估计量.为要证明估计量不是的无偏估计量，需求出，为此先求的概率密度.因统计量为随机样本的最大值，而独立同分布，故的概率分布函数为，其中为总体的分布函数.由的概率密度可知....因此从而.即极大似然估计量不为参数的无偏估计.【例7.10】若未知参数的估计量是，若称是的无偏估计量.设是未知参数的两个无偏估计量，若则称较有效.【分析】由无偏估计量和有效性的定义可得.【评注】估计量的有效性是在

7、无偏估计类的基础上定义的，这一点也特别明确.【例7.11】设总体，为总体的一个样本，试证明和均为总体期望的无偏估计，并比较哪一个更有效.【证明】由于故统计量均为期望的无偏估计，又..由于，故是比更有效的估计量.【例7.12】从总体中抽取样本，设为常数，且，证明：（1）为总体均值的无偏估计；（2）在所有这些无偏估计量中，样本均值的方差最小....【分析】注意到样本相互独立，且与总体同分布，易得的无偏性及其方差，利用拉格朗日乘数法则，不难证明，当时方差最小.【证明】因为样本与总体服从相同分布，故又，则从

8、而为总体均值的无偏估计.设总体方差，则.又样本相互独立，故为确定的无偏估计量的方差在什么情况下最小，应当求满足条件的条件极值.为此考虑函数，其中为常数.求偏导数，并令它们等于零，得（*）即.代入,得，即代入方程（*）中，即得由此可知，当时，方差最小.【例7.13】设分别来自总体和中抽取容量为的两个独立样本，其样本方差分别为，，试证：对于任意常数，都是...得无偏估计，并确定常数，使最小.【证明】由题意，.故对任意常数，都为得无偏估计.由于，则，即，故，则对求导，并令其