湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.2.1正、余弦定理在实际中的应用导学案（含解析）新人教版必修

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1、第1.2.2节：正、余弦定理在实际中的应用Ａ．学习目标1.使学生能够运用正弦定理，余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题。了解常用的测量相关术语，如坡度、仰角、俯角、方向角、方位角等。2.结合实际测量工具，能用正弦定理、余弦定理等知识解决生活中一些有关底部不可到达的物体高度的测量问题。3.通过有关角的研究，让学生根据题意能准确地画出平面示意图，灵活应用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。Ｂ．学习重点、难点重点：分析测量距离问题，高度问题，角度问题的实际背景，能应用正、余弦定理解决实际测量问题。能根

2、据正、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。弄清仰角、俯角、方位角、方向角的概念，将实际问题转化为数学问题。难点：根据题意准确画出示意图（平面或立体图形），灵活应用正、余弦定理解决有关实际测量问题。Ｃ．学法指导通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测量有关的实际问题，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题。D．知识链接本章引言中就提出经常萦绕着我们的这么一个问题:“遥不可

3、及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？今天我们将一起学习这个神奇的方法，出示课题：正、余弦定理在实际问题中的应用。E．自主学习测量中的基本术语[提出问题]李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中．问题1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向．问题2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东45°或东偏南45°.[导入新知]实际测量中的有关名称、术语定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确

4、定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角[化解疑难]解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理

5、解三角形是解题的关键环节．F.合作探究测量高度问题[例1]　如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.[解]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，所

6、以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)即塔高AB＝200米．[类题通法]测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．[活学活用]1.如图

7、，A、B是水平面上两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角是25°，∠BAD＝110°，又在点B测得∠ABD＝40°，其中D点是点C在水平面上的垂足．求山高CD(精确到1m)．解：在△ABD中，∠ADB＝180°－110°－40°＝30°，由正弦定理得AD＝＝≈1028.5(m)，在Rt△ACD中，CD＝ADtan25°≈480(m)．答：山高约为480m.测量角度问题[例2]　如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2n

8、mile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]　设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝，且sin