试验五用matlab求二元函数的极值

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1、实验五用matlab求二元函数的极值1.计算二元函数的极值对于二元函数的极值问题，根据二元函数极值的必要和充分条件，可分为以下几个步骤:步骤1.定义二元函数'=/（兀刃.步骤2.求解方程组fx（x,y）=0,fy（x,y）=0，得到驻点.步骤3.对于每一个驻点（兀0*0）,求出二阶偏导数步骤4.对于每一个驻点（兀o"o）,计算判别式AC-，,如果AC-B?则该驻点是极值点，当人>°为极小值，人为极人值;如果AC-=0,需进一步判断此驻点是否为极值点；如果^C-B2<°则该驻点不是极值点.2.计算二元函数在区域D内的最大值和最小值设函数z=Mx,y）在有界区域D上连续,则f（x,y）在D上

2、必定有最大值和最小值。求/（兀,y）在d上的最大值和最小值的-般步骤为：步骤1.计算/（兀）‘）在D内所有驻点处的函数值；步骤2.计算f（兀刃在D的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3.将上述各函数值进行比较，最终确定岀在Q内的授大值和授小值。3.函数求偏导数的MATLAB命令MATLAB屮主要用diff求函数的偏导数，用jacobian求Jacobian矩阵。diff（f,x,n）求函数f关于白变量x的n阶导数。jacobian（f,x）求向量函数f关于口变量x（x也为向量）的jacobian矩阵。可以用helpdiff,helpjacobian查阅有关这些命令的详细信息例1求函数""

3、一3+2于-3的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数>>clear;symsxy;>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;>>diff（z,x）>>diff(z,y)结果为ans=4*xA3-8*yans=-8*x+4*y二=4兀3_8¥，二=-8x+4y.即矗*创再求解方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解方程的MATLAB代码>>clear;>>[x,y]=solve(*4*xA3-8*y=0*,*-8*x+4*y=0*,'x*,*y*)结果有三个驻点,分别是P(-2,4),Q(0,0),

4、R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：»clear;symsxy;>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;>>A=diff(z,x,2)〉〉B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(zzyz2)结果为A=2*xA2B=-8C=4由判别法可知戶(一4，一2)和0(4,2)都是函数的极小值点，而点Q(o,O)不是极值点，实际上，P(-4,-2)和。(4,2)是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形來观测极值点与鞍点。>>clear;>>x=-5:0.2:5;y=-5:0.2:5;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=X.A4-8*X.*Y+2*Y.

5、A2-3;>>mesh(X,Y,Z)»xlabel(),ylabel(fy1),zlabel('z')结果如图16.5.11000>800600//400200、-2005图16.5.1函数1111面图可见在图6.1小不容易观测极值点，这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图，局部信息丢失较多，观测不到图像细节.可以通过画等值线來观测极值.>>contour(X,YzZz600)>>xlabel(*x*)zylabel(*y*)结果如图16.5.2图16.5.2等值线图山图16.5.2可见，随着图形灰度的逐渐变浅，函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点P(-4,-2)

6、和0(4,2).根据提梯度与等高线之间的关系，梯度的方向是等高线的法方向，且指向函数增加的方向.山此可知，极值点应该有等高线环绕，而点°(°,°)周围没有等高线环绕,不是极值点，是鞍点.例2求函数Z=厂在条件X+yi下的极值..构造Lagrange函数L(x,y)=xy+Z(x+y-1)求Lagrange函数的自由极值.先求L关于兀，丁“的一阶偏导数>>clear;symsxyk>>l=x*y+k*(x+y-l);>>diff(1,x)>>diff(1,y)»diff(lzk)8L.SL.dL,—=y+几,—=兀+几,——=x+y—得dx'68A再解方程>>clear;symsxyk>:

7、>[x,y,k]=solve(,y+k=O,,*x+k=O*/fx+y-l=O*,*xffyffkf)进过判断，此点为函数的极人值点，此时函数达到最大值.例3抛物面z=，+)"被平面“+y+z=1截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数/(x,y,z)=x2+尹22在条件？=兀+V及x+y+Z=l下的最人值和最小值问题.构造Lagrange函数L(x,y,z)=x2+y2+z?+A(x2+y2一z)+