非线性规划约束规范作业

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1、在KKT条件下，讨论非线性规划的约束规范文章目录：一、引理论述一、引理论述本文主要考虑如下形式的约朿优化问题：minf(x)s.t.gtM<0,i=1,2,.../m其中，5表示可行域S.S={xGRngt(x)<0,i=1,2,…，m}在可行解文处满足giM=0的约束条件称为无处的有效约束(activeconstraint)0S在壬处的切锥可以表示为心(元)={y3tkt0,3ykty满足乂+tkyk6S,V/c}。S在无处的线性化锥可以表示为Cs(元)={ywy)<0,是有效约束用图表示如下：切锥心(刃由S直接定义，而线性规划锥Cs(刃

2、则依赖于描述集合S的函数0。因此，两者并未完全一致。虽然7^(%)=Cs(x)不一定成立，但是7^(%)eCs(x)总是成立的。对于原问题，引入Lagrange乘子入，得到L0(x,/I)=/(%)+为化】入g(x),/I>0.Lo称为Lagrange函数。二、Karush-Kuhn-Tucker条件由以上引理，可以得到描述原问题的最优性必要条件的定理：设元为原问题的局部最优解，并且目标函数f：RnTR(i=l,2,…,m)均在元处可微。若Q(x)^co7^(x),则存在Lagrange乘子》6肿，满足mVxL0(x,A)=Vf(x)+》入加仗)

3、=01=1Aj>0,g^x)<0,=0,i=l,2,…，m上式一般称为Karush-Kuhn-Tucker条件或者KKT条件。该条件是元为原问题的局部最优解的必耍条件，但不是充分条件。举反例加以说明：考虑问题minf(x)=—x2s.t.01(%)=-%i2+%2S002仗)=%12+%22-10由于Vf(x)=(O,-1)T,V^!(x)=(0,l)r,取A=(1,O)T，则KKT条件成立,但是元不是该问题的局部最优解。kkt条件说明，在局部最优解元处目标函数的梯度可(元)乘以j后得到的向量包含在rh有效约朿函数的梯度y®(刃所张成的凸多面锥屮

4、，如下图所示：从KKT表达式我们看出，在假设条件TsG)WcoCsG)下，KKT条件是原问题最优性条件。一般称这样的假设条件为约束规范(constraintqualification),它是KKT条件成为最优性必耍条件不可或缺的条件。但同时有特殊情况，当原问题为凸规划时，在约束规范下，KKT条件也是全局最优性的充分条件。三、约束规范及相互关系接下来来讨论保证KKT条件最优性必要条件的其他约束规范，然后讨论它们之间的关系。首先给出没有约束规范情况下的最优性必要条件一一FritzJohn条件：设点元为原问题的局部最优解，目标函数f：RJR与约束函数山

5、：RJR(i=1,2,.../m)均在壬处可微，则存在右，A2,…，~Xm满足m入0丁"(文)+》临(刃=01=1<0,=0,i=l,2,…，m入>0,i=lt2,…，m(右，产2‘…，才尬)工(0,0,...,0)^以上式子称为FritzJohn条件，KKT条件可以看做它的特殊情形(即入＞0的情形)。原问题只包含不等式约束，对于这个问题，具有代表性的约束规范有：(1)线性独立约束规范(linearindependenceconstraintqualification)：向量组Vg(Q(冇效约束)线性无关；(2)Slater约束规范(Slater

6、'sconstraintqualification):么(有效约束)均为凸函数，并目.存在兀°满足＜0(i=l,2,…，m)；(3)Cottle约束规范(Cottle'sconstraintqualification):存在向量ye/?n满足〈0®(元)，y)＜0为有效约束)；(4)Abadie约束规范(Abadie'sconstraintqualification)：C$(无)日乂元)；(5)Guignard约束规范(Guignard'sconstraintqualification)：C$(元)Uco7^(元)。其中Guignard约束规范正

7、是上文KKT条件叙述中所假定的约束规范。通过阅读相关文献，得到它们Z间的关系如下的关系：(1)若线性独立约束规范或Slater约束规范成立，则Cottle约束规范也成立；(2)若Cottle约束规范成立，则Abadie约朿规范也成立。若Abadie约朿规范成立，则Guignard约束规范也成立。证明不加以赘述。综合上两条结论，画出关系图：在这些约束规范中,Guignard约束规范是最弱的条件。因此从理论上来讲,Guignard约束规范是最好的。但是该约束规范不太实用，因为对于实际问题不太容易验证。所以在实际问题中，线性独立约束规范、Slater约

8、束规范、Cottle约束规范使用得比较多。