经典函数及其表示教案

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1、函数及其表示【目标】1、理解映射、函数的定义、及二者的区别与联系，正确地求出函数的定义域和值域。2、能用不同的方法表示一个函数，及灵活地求函数的解析式。【重点难点】重点：函数的定义、定义域、值域及求解其解析式的方法。难点：求解函数的解析式。【内容】1、背景：1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数在欧拉的定义屮，就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函

2、数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚-至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。2、映射的定义设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系/,对于集合A中的任意一个元素X,在集合B中都存在

3、唯一的一个元素y与之对应，那么，就称对应B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。包括：一对一多对一注意：①/为某种对于关系②集合A中的任意元素(即所有元素)③集合B中都吞石唯二元素3、函数的定义设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,对于集合A中的任意一个数兀，在集合B屮都存在唯一确定的数y与Z对应，那么，就称对应为集合A到集合B的一个函数。记作y=/(x),xgAo其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；而与兀的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x

4、]xEA}叫做函数的值域。函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。那么函数的值域与集合B的关系呐？函数的三要素：(1)定义域(2)值域(3)对应关系。这是判断两个函数是否为同一函WWWWWWWWWWWWVWWWWWWWWwwww数的依据。注意：①函数是特殊的映射②函数的三要素区间的概念：设a,bwR，且avb・我们规定：①(a,/?)={兀”

5、兀>q}®(b]-{x

6、x

7、x

8、x>a}⑨(一oo,+o°)=R4、函数的表示方法三种表示方法：(1)解析法(2)图像法(3)列表法分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。注意：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。②分段两数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。小结：(1)若己知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2)若已知复合函数/[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法;(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消除参的方法求出/(%)o【例题讲解】例1设M={a,

9、b,c},N={—2,0,2},求(1)从M到N的映射种数；(2)从M到N的映射满足/(d)>/(b)>/(c),试确定这样的映射f的种数.例2已知/(x)=*+5,g(x)=2x2+x,求/(«),^(A),/(A+B),g(pig).例3已知函数f(x)二府1+——，求(1)函数的定义域；(2)/(-2)JT-2^-15/⑹的值；(3)当a>0时,求/(q)J(q+1)。例4已知:x-5/(x+2)(x>6)(xv6),求/⑶的值。例5根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知/(兀)是二次函数，若/(0)=0,f(x+1

10、)=f(x)+x+1,求/(兀)・(2)已知f(4x+1)=x+2長,求/(x)⑶若/(%)满足/(x)+2/(-)=ax,求/(%)【过手练习】1、下列函数是否是同一个函数：(1)/(x)=7P",g(x)=V?(2)=J1x[-1x<0;(3)/(x)=兀2_2工_1,g(/)=”_2/_]2、己知函数/(x)的定义域为[0,1],则函数/(x+1)的定义域为3、求函数y=/(x)=x2-4x+6,则xg[1,5)的值域为4、已知函数f(x)满足/(x)+2f(丄)=3x，则f(x)=【拓展训练】1、已知函数/(兀)满足

11、：/(a+ft)=/(a)•/(*),/(l)=2,则严(l)+/(2)+/"2)+/⑷+严⑶+/⑹*严⑷打⑻=/⑴/(3)/(5)/(7)-2、已知3F+2y2=6兀，试求〒+)/的最大值。3、设/(x)是R上的函数，且满足/(0)=1,并且对任意的实数兀y都有/(%一y)=f(x)一y