补充奥数从数的二进制谈起

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1、从数的二进制谈起　　在即将进入21世纪的今天，电子（数字）计算机内部数的存贮和计算采用二进制已是众所周知的事了.据学者考证，中国在公元前2000多年的伏羲氏发明的八卦，即用—和--两种符号拼出来的。　　如果把—看成1，把--看成0，那么上述八卦可以翻译成二进制数（列于下面）。　　但是人类历史进程表明，二进制大约被人类冷落了近四千年（在此期间一直重视和使用十进制），直到20世纪40年代，科学技术的整体水平（有了无线电通讯、雷达技术和真空管、继电器等电子元器件）进一步提高，再加上反法西斯战争需要发明原子弹（原子弹许多设计数据不能事先在实验室测出，而

2、必须靠理论计算，而计算量超过人类有史以来全部算术运算），著名数学家冯·诺伊曼（J.vonNeumann）和另一些年轻数学家发明制成了称之为ENIAC的通用电子数字计算机（用18000支真空管，1500个继电器，几十万电阻电容，自重30吨，耗电200千瓦）.直至今日，电子计算机主要还是冯·诺伊曼体系.告诉大家这一些历史，主要说明我们不能停留在为祖先最早发明了二进制而自豪这一步，还要看到数学大有用武之地，但要与经济建设和科学技术广泛结合才能起大的或巨大的（如电子计算机）作用.下面看二进制本质到底是什么？　　人类天生双手十指.“搬着手指头”计数，是每

3、个人幼时必经之路.十进制数有两大内涵.一是有十个不同数符：0，1，2…9；二是“逢十进一”的进位法则，有个、十、百、千等自右向左的数位.倘若人类双手八指，也许地球上今日该流行八进制了.所以二进制也有两大内涵.一是有两个不同数符：0，1；二是“逢二进一”.其实，我们已见过非十进制的事物，一年十二个月，十二进制；一周七天，七进制；一小时六十分，一分六十秒，六十进制；一英尺等于十二英寸（电视机常说20英寸，21英寸），十二进制；一副三角尺含2块，一双鞋含2只，一双袜子含2只，一双筷子含2根，这些都可看成二进制.一个十进制数1993可表述为：　　199

4、3＝1000+900+90+3=1×103+9×102+9×10+3　17/17　　＋a3×103+a2×102+a1×10+a0　　其中0≤ai≤9，而i是0到n中的一个整数。　　再回到二进制.大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”（在十进制下记为2）；比“10”再多一个，记为“11”.依次类推，我们很容易接受（或自己发明）二进制下，从小到大的数列，不妨列表：　　为了不引起混淆，我们把二进制数右下角标一个2，如：　　（10）2=（2）10，或省略括号，省略十进制标记，略为：　　102

5、=2，或（10）2=2，11112=15　　和十进制对数位有一省略名字一样，二进制的数位也可称呼：　　　例如：1993＝1024＋512＋256＋128＋64＋8＋1，写成二进制为：　　0×4＋0×2＋0×1＝（88）10　　因而二进制的数化为十进制，只要读出二进制各数位累加即可，如N＝（bnbn-1bn-2…b2b1b0）2则有N=（bn×2n＋bn-1×2n-1＋bn-2×2n-2＋…+b2×22＋b1×21+b0）10　　难度大的是怎样较快地把一个十进制数化为二进制数.还以1993为例，前面的方法是先找出二进制的高位数字，记熟了2的各种幂

6、次（a的n次幂表示n个a相乘，记为an），找到不超过1993的最大的2的幂，是210=1024，得b1017/17=1，再找不超过（1993-210）的最大的2的幂，是29=512，得b9=1，依次类推得b8，b7…b2，b1，b0.这是由高位到低位逐渐推得的方法。　　现在设法自低位到高位，先找b0.显然，十进制偶数，b0=0，十进制奇数b0=1，所以b0是N除以2的余数.再说b1，因为N=bn×2n＋…＋b2×22　　　以后的余数，余数为0，b1就为0；余数为1，b1就为1；这样的想法可逐渐向高位推，得出一般性方法.还以1993为例，写出竖式

7、：　　N=1993，b0为1993÷2的余数，　　　　…　　(1993)10=(11111001001)2　　以后熟悉了这一算法，我们可很快地化十进制数为二进制数。　　例如化（19）10，（101）10，（81）10为二进制的竖式为：　　（19）10＝（10011）2；（101）10＝（1100101）2；（81）10＝（1010001）217/17　　顺便说一句，现在使用电子计算机，直接输入十进制数即可，因为机器内部已专门编有（十）化（二）程序，可以自动转换.　　下面讲一下二进制数的加减乘除四则运算：　　加法“口诀”特别简单，0＋0＝0，1＋

8、0＝0＋1＝1，1＋1=10.表述成运算时的竖式（用十进制和二进制比较）　　读者不难体会竖式中进位及累进等与十进制相似的规则.关键之处会“逢二进一”.