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1、关于对二次根式思维误区的反思汝城县第六中学何育林二次根式是初中代数中较为重耍的一章。该章定义、性质的附加条件较多，迷惑性较强，解题时，如果审题不严谨，思维不缜密，隐含条件挖掘不充分，常常进入思维误区，甚至会出现错误的解答。下面就二次根式常见思维误区略举儿例，以供参考。一、忽视二次根式定义满足的条件例1,下列各式哪些是二次根式？哪些不是？①迈②石③J_q2_i④厶2+1⑤血-2@764错解：因为①一⑤都带有根号，所以都是二次根式，764=8,它不是二次根式。错因：若式子石是二次根式，只有在a$0的条件下才叫二次根式，同时a可以是有理数或有理式，也可以是无理数
2、或无理式，因此符合条件的二次根式有①、④、⑥。正解：上面各式中是二次根式的有①、④、⑥，不是二次根式的有②、③、⑤。二、扩大字母的取值范围r例2、x为何值时，竺鼻在实数范围内有意义？错解：由X+2N0,得-2,・・・错因：上面解答中，仅考虑使石有意义，而忽视了原式中分母必须不为0,扩大了字母的取值范围，因此得岀的结论是错误的。正解：由题意知，x应满足条件：lX+220解之，得rx>-2・••当x$-2且xH土1吋，原式有意义。xH±l三、因式分解不彻底例3,在实数范围内分解因式：x4-12x2y2+35y4错解：x-12x2y2+35y4=(x2-5y2)
3、(x2~7y2)错因：在实数范围内分解因式，一定要注意系数可以出现无理数，分解一定要彻底。正解：x4-12x2y2+35y-(x2-5y2)(x2-7y2)=(x+V5y)(x—a/5y)(x+V7y)(x-V7y)。四、忽视二次根式性质中字母应满足的条件例4,将下列各数写成(腐)2(心0)的形式(1)-5(2)x(x为任意实数)错解：(1)-5=J(-5)~=(J-5)2(2)x=(Vx)2错因：根据二次根式定义，(V^)2=a(a>0),反过来，将a=(V^)2(a>0),可以将一个非负数写成一个数的平方的形式，而错解(1)、(2)中，都是因为没有考虑
4、“非负数”这个条件而出现了错解。正解：(1)-5=-(V5)2(2)r(Vx)2(x^O)X=1「L—(V-x)2(x<0)例5：计算(yjx-y)，+J(y_x)2错解：原式二x-y+y-x二0错因：由y有意义,可知x・y$O,则y・xW0,那么J(y-二y・x就不对。正解：•・•有意义，Ax-y^O・・・y-xWO•:原式二x・y+
5、y・x
6、二x_y+x_y=2x-2y五、忽视二次根式化简中的隐含条件例6,把(x-y)I-一根号外的因式移到根号内并化简。Vx-y错解：(x-y)=(x-y)2(!—)=yjy-x^-yV—y错因：本题忽视了题中二次根式
7、』-一有意义，隐含了条件x・yvo的条件，因此根v号外因式x-y<0,把根号外因式移到根号内时，必须将“■”号留在根号外，把正的因式平方后移到根号内。正解：由」-—有意义，得・一!一>0,即x-y<0yx-yx-y・•・原式=-(y-x)—=-(y-x)2x()二-x-yVx-y例7,把分母有理化。Vx+Qy伴钠—y_(—刃(仮-“)_(兀-刃(依-77)_：r~钻解：忑击皿3長一时—石—错因：本题并不知道頁-"是否为0,将頁-J亍盲目进行分母有理化是行不通的。正确的途径应将分子先分解因式，然后进行约分。正解：卡牛=归宙二匣=長一翻六、忽视了算术平方根扬2
8、()例8t己知x+y=・3,x•y=2,求2的值。X错解:x+y=3,x尸2,原式=芈+芈血：輕=字干」血+芈不成立。JyQxQyNxQxya/22显然不可能为一个负数，错误在于没有注意到这里X.y都小•:xvO,y<0=(7^)2+(J-)y二_(x+y)=近4~y*4^xyfxy2七、忽视不存在满足条件的字母的值。例9,如果最简二次根式2珂3X—2y-8与厶一y—1是同类二次根式,求x+y的值。错解：由2x-2=2,3x-2y-8=x-y-l,得x=2,y二3,于是x+y=-l错因：事实上，当x=2,y二3时，空珂3x_2y_8=眉,J—y_l=丽,
9、他们并不是最简二次根式，也不满足同类二次根式满足的条件，故不存在满足条件的x、y的值，因而无从求出x+y的值。正解：rfl2x-2=2,3x-2y-8=x-y-l,得x=2,y二3。当x=2,y=-3时，2x~^3x—2y—S=V4,,他们不是最简二次根式，故不存在满足条件的x、y的值，即x+y的值也不存在。八、忽视求得字母的值要检验例10,最简二次根式+3与J5d-3是同类二次根式,则a二o错解：由a2+3=5a-3,得a=2或a=3错因：上面解答只运用同类二次根式的定义解题，而忽视了最简二次根式的定义验证结果是否符合题意。正解：由a2+3=5a-3,得
10、a=2或a=3,当a=2时，+3=』5a—3=M,都是最简二次根式
