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1、线性代数习题集第一套一.填空题（每小题3分，满分30分）1.1.设叫•碑•几舛都是4维列向量，且4阶行列式Iqqqfl卜・,曲阳卜局贝y4阶行列式l%W（A+A）
2、=2.2.己知咚牌心线性相关，碍不能由碍•碍线性表示则硝•码线性3.设A是祈翼总阶矩阵"是总处阶矩阵，，⑷"，口M=0,则耳可的取值范围是设A是4x3矩阵，且4的秩础2且«=020日y则矶個）=■设0是矩阵rtorA=020J0知的特征值，则3■.设巧■可）=A：+十疋貳；十2矶巧是正定二次型，则f的取值区间为7矩阵JI04102-14-I»对应的二次型是8.设相似于对角阵・9.设A为3阶方阵,才为伴随矩阵，川■总,则
3、10•设是不可逆矩阵，则x=二（8分）计算行列式l+x1111l-r1111IO1111三・（8分）三阶方阵晁*满足关系式:耀二护十於,且求方.四.（10分）设q=（L.-1A416=（03X21=3P7J4）,%=吗=0XA6）求向量组的秩及其一个极大无关组.五・（12分）问常数上取何值吋，方程组无解，有唯一解，或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.六.（16分）求正交变换X■刖，将二次型化为/X和叼・衍）=Xj6+4x^+4琦一4X
4、Xj+4可衍—8x2X3标准形，并写出其标准形.六.（8分）设人®都是〃阶矩阵，且/可逆，证明M与刚有相同的特征值.七.（8分）设向量组虫
5、：％・4•…•久线性无关，向量人可由向量组丄线性表示，而向量舛不能由向量组/线性表示.证明：*i个向量4禺宀a”必线性无关.第二套一.填空题（每小题3分，满分30分）10010S7・U〉4■1.4QQ3=o2.2.己知a=（0,-1,2）t,0=（0,・1,1厂，且A=aRT,则A4—o3.3.设A、B为4阶方阵，且W=2,岡=81,则购二4.4.设3阶方阵A的非零特征值为5,・3,则H二111111115.5.与向量组5二（丁，「，「才卩，”（丁，才，■丁，■巧丁，:111r5二（厂，■丁，:T,■丁）T,都正交的单位向量0尸6.6.A是3X4矩阵，其秩则rank㈣7.7.设A
6、、B2是非齐次方程组A%=b的两个不同的解，a是对应的齐次方程组的基础解系，则用表示Ax二b的通解为7.向量组a产(1,1,1)丁，a2二(1,2,4卩,a3=(1,a,a2)T线性无关的充要条件为aH9.9.设可逆方阵A的特征值为入，则的特征值为10.10.f(X],x2,x3)=Xi2^ax22+2X32-2X1X2为正定二次型，则a的取值范圉为_（10分）计算n阶行列式DnN-lN-lN-l三.（8分）设A、JB为3阶矩阵，且A2B=A+B-E,其中A二rt0I30t-2003J,E为3阶单位矩阵,求矩阵B。四.（8分）确定a、b的值，使矩阵A=012S3.543-1d的秩
7、为2。五.（10分）设a^（1,0,2,1）T,a2=（1,2,0,1）T,a3=（2,1,3,0）T,a4=（2,5,-l,4）T,求此向量组的秩及一个极大无关组。六.六.（8分）设a],a2,…，5,5线性相关，而其中任意n个向量均线性无关，证明：必存在（n+1）个全不为零的数心，层，・・・，L使得人a1+息a2+・・・+怎an+怎+i口田二0七.（10分）设齐次方程组dll^l+。12兀2+…+ClXn=0,血1兀1+伪2兀2+…+a2nxn=0,给1兀1+给2兀2+…+^nnXn=0,证明:的系数行列式S=0,A的某一元素％的代数余子式AqHO,X=(Ari,Ar2,
8、…，A&n)T为此方程组的一个基础解系。八、(16分)求正交矩阵P,将二次型f(xlf兀2,X3)=-Xi2-X22-X32+4xiX2+4X]X3-4x2X3化为标准形并写出此标准形。第三套一.填空题（每小题3分，满分30分）1.1111^22x4=OflMfc=—一•334z2.rrio玄晤屈二如则《«）=—I3.H=3,则阿戶卜设A、B为4阶方阵，口出=-2,5.厂1.-305085=-10030A是4x3矩阵,则rank（砂二3•且方程组念=帝耳漳解.则A7.设方阵A有一特征值为入，则时…的特征值为O&幵卄)={"(;X:卜加阱足9.彳：：.IQ曰UEI元^齐妬t£方程
9、组ZxM.M=3皿,為喘它的三个解向量其中啣+^=(iw.2M7二(iamt■调E齐Z性方程俎MW二(W介行列式mfi吩毋m■2；ur吗-(uw>^■«-⑴/厶■(uA7r审为翊齟朋豊俎％%_%98性相芜并蜩6—组星大集性无题1(2_；1)斗+2耳_2为=12^+{5-1)^-^=2-2^-4^+{$-!>,=-1-1冋I为何值歐此方程科理有励多解?对=2x^+3^4■垢>0）MHIE女"X+吗卜城務斷，测佣的正畑ft如阀igMPZmbKj钿HHigEU獅E罚量％%%令0=吸+q
