变化率问题(教案)

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1、变化率问题教学目标：・1.理解平均变化率的概念;.2.了解平均变化率的几何意义;.3.会求函数在某点处附近的平均变化率..教学重点：.平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率..教学难点：.平均变化率的概念..教学过程：.一、创设情景.为了描述现实世界屮运动、过程等变化着的现象，在数学屮引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分，微积分的创立以白然科学中四类问题的处理直接相关:.一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;.二、求曲线的切线;.三、求已知函数的最人值与最小值

2、;.四、求长度、面积、体积和重心等・.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最人(小)值等问题最-•般、最有效的工具..导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度..二、新课讲授.(一)问题提出.问题1气球膨胀率.我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?.4.气球的体积V(单位：厶)为半径广(单位：伽)Z间的函数关系是*厂)=-^3■Fw如果将半径厂表示为体积U的函数，那么r(

3、V)=3—⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了r(l)-r(0)«0.62(Jm)气球的平均膨胀率为r0)~r(0)0.62(dm/L)1-0⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)-r(l)«0.16(伽)气球的平均膨胀率为「⑵—厂⑴00.16(伽/L)2—1口J以看岀，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考：当空气容量从％增加到涮，气球的平均膨胀率是多少？曙铲问题2高台跳水在高台跳水运动屮，运动员相对于水面的高度力（单位：加）与起跳后的时间/（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9/

4、2+6.5/+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速：度粗略地描述其运动状态?思考计算：05750.5和1V/W2的平均速度yS0

5、图形可知，/!（—）=/1（0），所以V==0（5///?）4965_049-虽然运动员在05t<詈这段时间里的平均速度为0（5/m）,但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能楮确描述运动员的运动状态.（二）平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子（“）表示，X2—X]称为函数/（兀）从州到兀2的平均变化率.2.若设Ar=x2-Xj,f=/（x2）-/（%,）（这里心看作是对于州的一个“增量”可用%.+Ax代替兀2,同样N=0=/（兀2）-/（歼））例1已知函数f（x）=-x2+x

6、的图象上的一点4（一1,-2）及临近一点则平均变化率为Y=f(x)B(—1+Ar,—2+Ay)则型=・Ax解：_2+4y=_(_l+3+(T+心).・.Ay=-(-1+3+(-1+3-2=3_心A%Ar例2求y=x2在兀=%附近的平均变化率.解：Ay=(xQ+Ax)2一x02所以型二(心+心)2V=川+2兀。心+2-兀』=2心+心AxAxAx所以y=_?在兀=勺附近的平均变化率为2x0+Ar四、课堂练习1.质点运动规律为s=t2+3f则在时间(3,3+Ar)中相应的平均速度为2.物体按照s(t)=3(2+/

7、+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=/(x)=x3上两点P(l,l)和2(1+Ar,l+Ay)作曲线的割线,求岀当Ar=0.1时割线的斜率.五、回顾总结1•平均变化率的概念.2.两数在某点处附近的平均变化率.六、布置作业