数值分析上机作业1-1

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1、数值计算方法上机题目11、实验1.病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出：考虑一个高次的代数多项式（E1-1）显然该多项式的全部根为l，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动

2、(E1-2)其中是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab函数：“roots”和“poly”，输入函数u＝roots（a）其中若变量存储维的向量，则该函数的输出为一个维的向量。设a的元素依次为，则输出u的各分量是多项式方程的全部根，而函数b=poly(v)的输出b是一个n＋1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“Poly”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(1,21);ve(

3、2)=ess;roots(poly(1:20))+ve)上述简单的Matlab程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess”即是（E1-2）中的。实验要求：（1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？（2）将方程（E1-2）中的扰动项改成或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？9实验步骤：（1）程序functiont_charpt1_1clcresult=inputdlg({'请输入扰动项:在[020]之间的

4、整数:'},'charpt1_1',1,{'19'});Numb=str2num(char(result));if((Numb>20)

5、(Numb<0))errordlg('请输入正确的扰动项:[020]之间的整数!');return;endresult=inputdlg({'请输入(01)之间的扰动常数:'},'charpt1_1',1,{'0.00001'});ess=str2num(char(result));ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);x0=real(root);y0=imag(roo

6、t);plot(x0',y0','*');disp(['对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为:']);disp(num2str(root));二、实验结果分析ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12.对扰动项19加扰动1e-006得到的全部根为:21.3025+1.56717i21.3025-1.56717i18.5028+3.6004i18.5028-3.6004i15.1651+3.76125i15.1651-3.76125i12.4866+2.88278i12.4866-2.88278i10.5225

7、+1.71959i10.5225-1.71959i9.04485+0.594589i9.04485-0.594589i7.9489+0i7.00247+0i5.99995+0i5+0i4+0i3+0i2+0i1+0i对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为:19.9953+0i19.0323+0i17.8696+0i17.2186+0i15.4988+0.0211828i15.4988-0.0211828i13.7707+0i13.1598+0i11.9343+0i11.029+0i9.99073+0i9.00247+0i7.99952+0i7.00007+0i5.9999

8、9+0i5+0i4+0i3+0i2+0i1+0iess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12的图像如下：9从实验的图形中可以看出，当ess充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当ess逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。（2）将扰动项加到x18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)时相当，即扰动加到x18上比加到x19小一个数量级。对x8的扰动ess=10