2018高中数学初高中衔接读本专题32二次函数的最值问题精讲深剖学案

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1、第2讲二次函数的最值二次函数丁=0?+加+c(qho)是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础.当自变量兀在某个范围内取值时，求函数y的最大(小)值，这类问题称为最值问题问题.最值问题在实际生活中也有广阔的应用.【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式：y=ax+bx+c0).顶点式：y=a(x—1沪+n(aHO),顶点坐标为(刃，〃)・零点式：『=日匕一X】)(x—也)(日H0),恐为f(x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式y=ax+bx+c（白＞0）y=ax+bx+c（臼〈0）J图象1//^

2、iv对

3、称性函数的图象关于—霜对称3.二次函数的最值/?4门厂一/??(1)•当日>0时，函数y=ax+bx+c图象开口向上；顶点坐标为(,),对称轴为直线%=—la4a―;当*-2时，y随着x的增大而减小；当x>~—时，y随着x的增大而增大；当x=~—时，函2a2a2a2ci数取最小值4ac~b".4ab4d厂一b，(2)•当日<0时，函数y=ax+bx+c图象开口向下；顶点坐标为(,)，对称轴为直线%=—2a4a—;当xV-2时，y随着/的增大而增大；当x>~—吋，y随着x的增大而减小；当x=~—时，函2a2a2a2a4ac—/?2数取最大值尸

4、.4a【典例解析】求下列函数的最值(1)当一2;nax=5.(2)作出函数的图象.当x=l吋，儿^二一1,当x=2吋，=-5.【解题反思】由上述两例可以看到，二次函数在自变量％的给定范围内，对应的图彖是抛物线上的一段.那么最高

5、点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量兀的范围的图象形状各并.下面给出一些常见情况：【变式训练】1•当x>0时，求函数y=-x(2-x)的取值范围.【解析】作出函数y=—=y-2无在x>0内的图象.可以看出：当兀=1时，儿蚯=一1,无最犬值.所以，当函数的取值范围是^>-1■【点评】本题看似不是最值问题，但只要求出了最值，函数的取值范围自然可确定。2•当，“织+1时，求函数严新-―訥最小值（其廿为常数）.【分析】由于兀所给的范围随着f的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范闱的相

6、对位置.【解析】函数"钗―兀—专的对称轴为X=l.画出其草图.££⑴当对称轴在所给范围左侧•即才A1时：当时，儿厂纽一—和££⑵当对称轴在所给范围之间.即/+当丸=1时,⑶当对称轴在所给范围右侧.即f+1vl=>/<0吋:当x=r+1时，儿in19-r2-3,r<02综上所述：y=J-3,01〔22【点评】本题所给的x収值范围不确定，但函数确定，即对称轴固定，可分情况讨论x取值相对于对称轴的位置即：在轴的左、右、包含对称轴三种情况求出最值，为轴定兀取值变问题。3.提出问题：当x>0时如何求函数y=x+—的最大值或最小值？x分析

7、问题：前面我们刚刚学过二次函数的相关知识，知道求二次函数的最值时，我们可以利用它的图象进行猜想最值，或利用配方可以求出它的最值.例如我们求函数y二x-2换（x>0）的最值时，就可以仿照二次函数利用配方求最值的方法解决问题；y二x-2心（頁）2-2頁-2换+1-1二（换-1）'-I即当x=l吋，y有最小值为-1解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=x+l（x>0）的最大（小）值.（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y二x+丄（x>0）的图彖:XX•••1111~21234•••y•••••♦（2）观察猜想：观察该函数的图象

8、，猜想当X二时，函数y=x+l（x>0）有最值（填“大”或“小”），是（3）推理论证：利用上述例题，请你尝试通过配方法求函数y二x+丄（x>0）的最大（小）值，以证明你的X猜想.知识能力运用：直接写出函数y二・2x■丄（x>0）当x二_时，该函数有最_值（填“大”或2x“小”），是•【分析】（1）rflx的值计算出y的值，填表即可；用描点法画出图象即可;（2）用配方法得出y二x+丄二（Vx-X即可得出结果;（3）用配方法得出y一2x哙二2,即可得出结果.【解析】⑴当讨时,y二x+L二丄+4二4丄;x44'当X二丄时，y二X+丄二丄+3二3丄

9、;3'X33当X二丄时，y二X+丄二丄+2二2丄;2'x22当x=l时,y=x+—=1+1=2；当x二2时，y二x+丄二2+丄二2丄;X22当X二3时，y二X+丄二3+丄二3丄;