三角恒等变形及应用(生)

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1、三角恒等变形及应用一.【课标要求】1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。二.【命题走向】从近儿年的高考考察的方向來看，这部分的高考题以选样、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲內

2、容是高考复习的重点z—,三角函数的化简、求值及三角恒等式的证叨是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的学握和运用的同吋，述注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。三.【要点精讲】1.两角和与差的三角函数sin（6z±/?）=sinorcos0icoscrsin0；cos（a±0）=cosacosy?+sin（7sin0；吨±0)=旦业鸣1+tantan02.二倍角公式sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2&一1=1一2sin2a；r2tanatanla

3、=；—。1-tarra3.三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三用函数种数尽量少；③使项数尽最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幕公式1・c.91-cos2a21+coslasinacosQ=—sin2a；sirra=；cos~a=□222（2）辅助角公式asinx+hcosx=yja2+h2•sin(x+0),英屮sin©二,COS0Clyja2+b24-三角函数的求值类型冇三类（1）给角求值：一般

4、所给出的角都是非特殊介J,要观察所给角与特殊介间的关系，利用三用变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如6Z=（Q+0丿—0,2q=（g+0丿+S—0丿等，把所求角川含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5.三角等式的证明（1）三角悝等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化“

5、异”为“同”;（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。一.【典例解析】题型1：两角和与差的三角函数例1.已知sina+sin0二1,cosq+cos0=O,求cos（q+0）的值。例2.已tana,tanJ3是方程/-5x+6=0的两个实根根，求2sin2(a+0)-3sin(a+0)cos(a+/?)+cos2(a+0)的值。题型2：二倍角公式例3.化简下列各式:(2)(1)11C/—+—cos2aae—,2/r122<2丿7?・2cos^a-sirra(7t'2/、71-+aC

6、OS-a（4丿U丿2cot例4.若cos[-+2(4)込求沁旦沁的值。1241-tanx题型3：辅助角公式.71.71as——bcos-例5.已知止实数6b满足5571..71acosbsm-55例6.(2009江苏卷)函数y=Asin(69x+cp)(A,(o,(p为常数,A>0,>0)在闭区间［-龙,0］上的图象如图所示，则Q=.(2009北京文)(本小题共12分)已知函数/(x)=2sin(^--x)cosx.(I)求/⑴的最小正周期;JT7T(II)求/(兀)在区间-匕二上的最大值和最小值.62题型4：三角函数式化简例7・求sin220

7、°+cos250°+sin20°cos50J的值。1->/2sin(2x-—)例8.已知函数/(%)=.COS兀(【)求/(X)的定义域；4(II)设a的第四象限的角，且tana=——,求.f(a)的值。题世5：三角函数求值例9.设函数f(x)=a/3cos2cos+sincorcoscox+a(K中co>0,aeR),Hj(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横r坐标为6(I)求3的值；(II)如果f(x)在区间-兰，迴上的最小值为巧，求^的值。例10.求函数y=2cos(x+—)cos(x-—)+V3sin2^的值域和最小正周期。44题型6：三角

8、函数综合问题例11.设0<0<—,

9、

10、

11、

12、线x2sin〃+『cos〃二1和x2cos0—y2sin0二1有4个不同的交点。