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1、竞赛专题讲座08—几何变换【竞赛知识点拨】平移变换1.定义设旳是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到XS使得则T叫做沿有向线段PQ的平移变换。记为X—,图形F—'o2.主要性质在平移变换F,对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）FL相等。二、轴对称变换1.定义设1是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，,使得X与X'关于宜线1対称，则S叫做以1为对称轴的轴对称变换。记为X^fX',图形F
2、-^F'o2.主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、旋转变换1.定义设a是一个定角，0是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点0仍变到0（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X',使得OXQ0X,口ZX0X，二a，则R叫做绕中心0,旋转角为a的旋转变换。记为X*5S图形F—H2cL»F,o其屮a〈0时，表示ZX0X'的始边0X到终边0X'的旋转方向为顺时针方向；a>0时，为逆时针方向。2.主耍性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等
3、于旋转角。四、位似变换变到XS使得=k•做以（）为位似屮心，k为位似比的位似变换。记为x即.打X'，图形1.定义设0是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X*F其屮k>0时，X，在射线0X上，此时的位似变换叫做外位似；k〈0时，X'在射线0X的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。2.主要性质在位似变换下，-•对位似对应点与位似屮心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应
4、线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似屮心。【竞赛例题剖析】【例1]P是平行四边形ABCD内一点,且ZPAB=ZPCBo求证：ZPBA=ZPDAo【分析】作变换AABP―ADCP,,则厶ABP^ADCPZ1=Z5,Z3=Z6o曲PP'=AD=BC,ADPP'、PP'CB都是平行四边形，知Z2二Z8,Z4二Z7。由已知Z1=Z2,得Z5二Z8。・・・P、D、P'、C四点共圆。故Z6=Z7,即Z3=Z4o【例2】“风平三角形”中,
5、AA'=BB'二CC'二2,ZAOB'二ZBOC'=60°。IT求证：SAAOB<+SAB0Cf+SC△COAo【分析】作变换△A，OC*AAQRS△BOC'—ia!L»ab，pit'，则R'、+SABOC，+SACOA*R''重合，记为R。P、R、Q共线，0、A、Q共线，0、BP共线，ACIPQ为等边三角形。SAAOBJ【例3】图3在两条对角线长度以及夹角一定的所有□四边形屮，试求周长最小的四边形。【分析】取AC、BD的中点E、F,令AC—A6、。•・・E是AC的中点且EF〃CC',FC‘〃EC,・・.F、C分别为AG、CG的中点。・・・AD+BC二BG+BCM2BC'二A'D+BC同理可得AB+DCNA'B+DC'。故当四边形为平行四边形时，周长最小。【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。【例4】P是的弦AB的中点，过P点引00的两弦CD、EF,连结DE交AB于M,连结CF交AB于N。求证:MP二NP。（蝴蝶定理）【分析】设GH为过P的直径，F,显然'G0O。
7、又PUGH,・・・PF‘二PF。nonsohi...pF—sg^pFpa—S=M»pb,・・.ZFPHZF'PM,PF二PF‘。又FF'丄GH,AN丄GH,AFF‘〃AB。AZF,PM+ZMDF'二ZFPN+ZEDF'二ZEFF'+ZEDF'=180°,:.P.D、F'四点共圆。AZPF,M二ZPDE二ZPFN。AAPFN^APF'M,PN二PM。【评注】一般结论为：已知半径为斤的。0内一弦AB上的一点P,过P作两条相交弦CD、EF,连CF、ED交AB于M、N,已知0P二P到AB中点的距离为臼，贝0（解析法证明：利用
8、二次曲线系知识）【例5】00是给定锐角ZACB内一个定圆，试在（DO及射线CA、CB上各求一点P、Q、R,使得APQR的周长为最小。【分析】在圆（）上任取一点Po,令P。一P,,pfi—连结P1P2分别交CA、CB于Q】、Rw显然△PoQR是在取定P。的情况下周长最小的三角形。设PoPi交CA于E,P0P2交CB于F,则PoQi+QR+R1P0
