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时间:2019-08-19
《九年级数学上册 专题突破讲练 巧添辅助线证相似三角形试题 (新版)青岛版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、巧添辅助线证相似三角形一、添加平行线构造“A”、“8”型1.定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。(1)定理的基本图形:(2)燕尾图形辅助线的添加方法注意:(1)选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系;(2)一般会出现两组三角形相似,注意相似三角形的对应边;(3)通过线段比例之间的等量代换求解。2.方法归纳:(1)遇燕尾,作平行,构造“A”字“8”字一般行。(2)引平行线应注意以下几点:①选点:一般选已知(或求证)中线段的比的前项或后项,以同一直线的线段的端点作
2、为引平行线的点。②引平行线时,不破坏已知条件中的数量关系,尽量使较多已知线段、求证线段成比例。二、作垂线构造相似直角三角形1.基本图形2.所用知识点(1)等量代换——等角的余角相等。(2)相似三角形对应高线的比等于相似比。注意:(1)相似三角形中对应边要找准。(2)利用高线解决问题,一般会用到设未知数,列方程的思想。例题平行四边形ABCD中,CE⊥AE,CF⊥AF,求证:。解析:作BM⊥AC于点M,可证△ABM∽△ACE,则AB•AE=AM•AC,易得△BCM∽△CAF,则BC•AF=CM•AC,故得出结论。答案:作BM⊥AC
3、于点M,则∠AMB=∠AEC=90°,∵∠BAM=∠CAE,∴△ABM∽△ACE,∴AB•AE=AM•AC,∵∠BCM=∠CAF,易得△BCM∽△CAF,∴BC•AF=CM•AC,∴。∵AD=BC,∴。点拨:本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质,注意辅助线的添加。【总结提高】本节所讲授内容中,主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段、角度之间的关系。需注意以下四点:(1)添加辅助线的原则;(2)构造出的基本模型;(3)相似三角形中的对应关系。(4)复杂问题中等量代换的灵活应用。例题用一根手指顶住一个平面图形内的
4、某点,如果平面图形能保持平衡,那么这个点叫这个平面图形的重心,平行四边形的重心是对角线的交点,三角形的重心是三条中线的交点。请你用下图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为1:2,即在△ABC中,BE,CD是两条中线,它们交于G,求证:DG:CG=EG:BG=1:2。解析:连接AG,交DE于点H,延长AG交BC于点F。根据三角形中位线定理得到,则F。通过△HEG∽△FBG的对应边成比例证得结论。答案:如图,连接AG,交DE于点H,延长AG交BC于点F。∵点G是△ABC的重心,∴点F是BC的中点。∴BF=FC。∵D、E是
5、AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,,∴HE∥BF,F。∴△HEG∽△FBG,∴,即EG:BG=1:2同理DG:CG=1:2。∴。点拨:本题考查了三角形的重心定理的证明,作辅助线构造三角形的中位线和相似三角形是解题的关键,也是本题的难点。本定理要求学生能记住,并熟练应用。(答题时间:30分钟)一、选择题*1.(绥化)如图,在平行四边形ABCD中,E是CD上的一点,DE:EC=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则( )A.2:5:23B.4:9:24C.2:3:5D.4:10:25**2
6、.如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,点G、H在DC边上,且。若AB=15,BC=16,则图中阴影部分的面积是( )A.40B.60C.80D.70**3.如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q。求BP:PQ:QR=()。A.3:1:2B.5:3:4C.6:5:4D.4:1:2**4.如图,在△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE,过E作EF∥CD交BC于F。下列结论:①BE=EC
7、;②BC2=AC•DC;③S△BEC:S△BEA=2:1;④;⑤。其中正确结论的个数有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题**5.(武清区一模)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点P为BC上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为 。**6.如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3。下列结论:①∠AED=∠ADC;②;③A
8、C•BE=12;④3BF=4AC,其中结论正确的是 。**7.(温州一模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以点C为圆心作弧,分别交AC、CB的延长线于点D、F,连结DF,交AB于点E,已知,tan∠DFC=2,则BC= ,= 。**8.(嘉兴)如图,在Rt△AB
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