因式分解(超全方法)(1)

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1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在

2、整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；　(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：　(5)a2+b2+c2+

3、2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且，则的形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：36例2、分解因式：练习：分解因式1、2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：例4、分解因式：练习：分解因式3、4、综合练习：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）36（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系

4、数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.例5、分解因式：例6、分解因式：练习5、分解因式(1)(2)(3)练习6、分解因式(1)(2)(3)36（二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）分解结果：=例7、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=练习7、分解因式：（1）（2）（3）（4）（

5、三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=练习9、分解因式：（1）（2）36综合练习10、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、换元法。例13、分解因式（

6、1）（2）解：（1）设2005=，则原式===（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，则∴原式====练习13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式==36设，则∴原式=======（2）解：原式==设，则∴原式====练习14、（1）（2）六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）解法1——拆

7、项。解法2——添项。原式=原式=========（2）解：原式====练习15、分解因式36（1）（2）（3）（4）（5）（6）七、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=∵=∴=对比左右两边相同项的系数可得，解得∴原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。（2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设=则=比较对应的系数可得：，解得：或∴当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一

8、个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。36解：设=则=∴解得，∴=21练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1.把一个多项式化成几个整式的_