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1、第七章参数估计第一节基本概念1、概念网络图2、重要公式和结论（1）点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为L
2、n.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则称为样本的似然函数。若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性设为求知参数的估计量。若E（）=，则称为的无偏估计量。E（）=E（X），E（S2）=D（X）有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有则称为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(
3、X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度，查表找分位数；（iii）导出置信区间。已知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间未知方
4、差，估计均值（i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计（i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出置信区间例7．1：设总体，求对a,b的矩估计量。例7．2：设是总体的一个样本，试证（1）（2）（3）都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。例7．3：设是取自总体的样本，试证是的相合估计量。第二节重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节常见题型1、矩估计和极大似然估计例7．4：设，求的最大似然估计量及矩估计量。例7．5：设总体X的密度函数为其中>0,,为未知
5、参数，为取自X的样本。试求,的极大似然估计量。2、估计量的优劣例7．6：设n个随机变量独立同分布，则（A）S是的无偏估计量；（B）S是的最大似然估计量；（C）S是的相合估计量；（D）相互独立。例7．7：设总体X的密度函数为是取自X的简单随机样本。（1）求的矩估计量；（1）求的方差D（）；（2）讨论的无偏性和一致性（相合性）。3、区间估计例7．8：从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.102.15,2.12,2.14,2.10
6、,2.13,2.11,2.14,2.11假设钉子的长度X服从正态分布,在下列两种情况下分别求总体均值μ的置信度为90%的置信区间。（1）已知=0.01.（2）未知.例7．9：为了解灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测量10个灯泡，得=1500小时，S=20小时。如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间。例7．10：设总体X～N（3.4,62），从中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间[1.4,5.4]内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？第四节历年真题数学一：1（97，5分
7、）设总体X的概率密度为其中是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。2（99，6分）设总体X的概率密度为是取自总体X的简单随机样本。（1）求θ的矩估计量θ；（1）求D（θ）。3（00，6分）设某种元件的使用寿命X的概率密度为其中θ>0为未知参数。又设的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。4（02，7分）设总体X的概率分别为其中θ（0<θ<）是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值。5（03，4分）已知一批零件的
8、长度X（单位：cm）服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则的置信度为0.95的置信区间是。（注：标准正态分布函数值）6（03，8分）设总体X的概率密度为其中θ>0是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本，记=min（）。（1）求总体X的分布函数F（x）；（2）求统计量的分布函数；如果用作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。7（04，9分）设总
