倪育才 不确定度之1 - 如何建立数学模型

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1、如何建立数学模型讲授人：中国计量科学研究院研究员倪育才    　应《中国计量》编辑部的邀请，根据近几年来在各种“测量不确定度评定”学习班上讲课的经验和对初学者经常感到困惑的问题或不容易理解的问题，现写若干短篇并在《中国计量》上连载。为使这些短篇相互独立，每一篇讲述一个问题，合起来看又有一定的系统性。经与编辑部商讨，初步确定下述几个问题: 　　1  如何建立数学模型    　　2  极差法和贝塞尔法之间的比较    　　3  被测量Y可能值分布的判定    　　4  包含因子k的选择    　　5  测量不确定度评定在不同应用中的差别    　　6  测量误差的基

2、本概念    　　7  测量不确定度的基本概念    　　8  测量误差和测量不确定度的差别    在测量不确定度评定中，建立数学模型也称为测量模型化，目的是要建立满足测量不确定度评定所要求的数学模型，即建立被测量Y和所有各影响量X间的函数关系，其一般形式可写为:    Y=f(X1，X2，…，Xn)    可以说，建立数学模型是进行测量不确定度评定最关键的第一步，也是许多初学者在进行测量不确定度评定时遇到的第一个困难。    《测量不确定度表示指南》(GUM)在摘要介绍测量不确定度评定步骤时，首先就提到要建立数学模型，并说:“Thefunctionfshoul

3、dcontaineveryquantity,includingallcorrectionsandcorrectionfactors,thatcancontributeasignificantcomponentofuncertaintytotheresultofmeasurement.”。其意是数学模型f中应包含所有对测量结果的不确定度有影响的修正值和修正因子。也就是说，数学模型中应包含所有应该考虑的影响量，而每一个影响量将对测量结果贡献一个值得考虑的不确定度分量。因此一个好的数学模型，其中所包含的影响量和此后不确定度评定中所考虑的每一个不确定度分量应该是一一对应

4、的。这样建立起来的数学模型，既能用来计算测量结果，又能用来全面地评定测量结果的不确定度。    要找出每一个影响量与被测量之间的函数关系，往往是很困难的，有时简直不可能得到两者关系的解析表达式。于是许多初学者往往将测量中用来获得被测量的计算公式作为数学模型而列出。例如在各种测量中，最经常采用的方法之一是比较测量。将被测量值y和参考标准所提供的标准量值s相比较，通过测量两者之差Δ可以计算出被测量y。于是在已经发表的各种测量不确定度评定的文章中，经常见到将y=x+Δ作为数学模型的情况。但在进行不确定度评定时，则又往往脱离数学模型而重新考虑各个不确定度分量。这样的数学

5、模型对测量不确定度评定实际上毫无帮助。    在某些特殊情况下(例如某些检测项目)将计算公式作为数学模型可能是允许的，但一般说来不要把数学模型简单地理解为就是计算测量结果的公式，也不要理解为就是测量的基本原理公式。两者之间经常是有区别的。    从原则上说，似乎所有对测量结果有影响的输入量都应该在计算公式中出现，但实际情况却不然。有些输入量虽然对测量结果有影响，但由于信息量的缺乏，在具体测量时无法定量地计算它们对测量结果的影响。也有些输入量由于对测量结果的影响很小而被忽略，故在测量结果的计算公式中也不出现，但它们对测量结果的不确定度的影响却可能是必须考虑的。因此

6、如果仅从计算公式出发来进行不确定度评定，则上述这些不确定度分量就可能被遗漏。当然，在某些特殊情况下如果所有其他不确定度贡献因素的影响都可以忽略不计时，数学模型也可能与计算公式相同。    对于不同的被测量和不同的测量方法，数学模型的具体形式可能差别很大，但实际上都可以用一种比较系统的方式来给出数学模型，或者说可以给出数学模型的通式。    根据测量误差的定义:误差=测量结果-真值。同时误差又可以分为随机误差和系统误差两类，且三者之间的关系为:误差=系统误差+随机误差。于是可以得到:    真值=测量结果-误差        　　=测量结果-系统误差-随机误差  

7、  由于修正值等于负的误差，于是上面的关系式就成为:    真值=测量结果-系统误差-随机误差        　　=测量结果+系统误差的修正值+随机误差的修正值    实际上，真值就是想得到的被测量的测量结果，于是上式可写成    被测量=测量结果+系统误差的修正值+随机误差的修正值   例1:对于常见的量块比较测量，若ls为标准量块的长度，Δl为测得的两量块的长度差，于是被测量块长度lx的计算公式为:    lx=ls+Δl    由于测量时量块的温度通常会偏离标准参考温度20℃，考虑到温度和线膨胀系数对测量结果的影响，计算公式成为:    lx=ls+Δl+

8、lsδαθx+lsαsδ