第七章第6讲空间向量及其运算

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1、第6讲　空间向量及其运算1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两

2、个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉．(3)向量的数量积的性质：①a·e＝

7、a

8、cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③

9、a

10、2＝a·a＝a2；④

11、a·b

12、≤

13、a

14、

15、b

16、.(4)向量的数量积满足如下运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·

17、c(分配律)．3．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，cos〈a，b〉＝＝.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．[做一做]1．已知a＝(－2，－

18、3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　)A．a∥c，b∥c　　　　　　B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对解析：选C.∵c＝(－4，－6，2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.2．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是(　　)A．aB．bC．cD．2a解析：选C.∵a＋b，a－b分别与a，b，2a共面，∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．1．辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直

19、线夹角的区别．(2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0.(3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的．(4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．2．建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直．(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决

20、垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．[做一做]3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－1，0，1)，∴＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝6

21、0°，∴异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.4．已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段AB的中点坐标和

22、

23、分别是________．解析：设P(x，y，z)是AB的中点，则＝(＋)＝[(3，2，1)＋(1，0，4)]＝(2，1，)，dAB＝

24、

25、＝＝.答案：(2，1，)，__空间向量的线性运算__________________　如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.[解]　(

26、1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a.∴＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)＝a＋b＋c.[规律方法]　用已知向量表示某一向量的方法：用已知不