全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换

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1、例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换李进山东省邹平县第一中学计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。1、等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件

2、间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1=R2=R3=R4=R5=R，试求A、B两端的等效电阻RAB。模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。答案：RAB=R。【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1=1Ω，R2=4Ω，R3=3Ω，R4=12Ω，R5=10Ω，试求A、B两端的等效电阻RAB。模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，

3、C、D两点的电势相等。因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙对于图8-5的乙图，求RAB是非常容易的。事实上，只要满足=的关系，该桥式电路平衡。答案：RAB=Ω。【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R，试求A、B两点之间的等效电阻RAB。ABDC【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD是正四面体，每段导线的电阻都是1。求AB间的总电阻。2、电流分布法设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流

4、I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压，再由即可求出等效电阻。AB【例题1】7根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。【例题2】10根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。CDAB【例题3】8根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，C、D之间是两根电阻丝并联而成，试求出A、B两点之间的等效电阻。电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应

5、计及。【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R，求A、B间等效电阻。BA3、Y—△变换法在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或△，如图所示，有时把Y型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压及流过的电流与△型联接的三个端纽相同。⑴将Y型网络变换到△型电路中的变换式：⑵将△型电路变换到Y型电路的变换式：以上两套公式的记忆方法：△→Y：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。Y→△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。当Y形联接

6、的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的Y形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻RAB。提示：法一：“Δ→Y”变换；法二：基尔霍夫定律【例题2】试求如图所示电路中的电流I。（分别应用两种变换方式计算）【课堂练习】分别求下图中AB、CD间等效电阻。(答案：0.5R;RPQ=4Ω)4、无限网络若（a＞0）在求x值时，注意到x是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即。所以这就是物理学

7、中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。⑴一维无限网络【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R，试求A、B两点间的电阻RAB。解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即RAB∥R+R=RAB解这个方程就得出了RAB的值。答案：RAB=R。解法二：可以，在A端注入电流I后，设第一级的并联电阻分流为I1，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示对

8、图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有(I−I1)R+(I−I1)R−I1R=0解得I1=I