数学建模论文--血管三维重建的数学模型

《数学建模论文--血管三维重建的数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、血管三维重建的数学模型[摘要]:本文探讨了血管的三维重建问题.我们首先利用数字图象处理的相关技术,从100张图中读取出相应数据,然后以定位所需的相关参数(包括中心轴线和半径)为目标,主要运用了包络面相关理论及几何拓扑网络中的相关知识得出了如下结论：切片一定包含一个滚动球的大圆,并且它恰好是切片内的最大圆.运用这些结论设计出有效的算法,利用数学软件(Matlab及Maple)和计算机技术,对100个切片编程求解,找出切片所包含的最大圆,即得到中心轴线与100个切片交点的坐标及大圆半径.经过误差分析确定出管道半径为,并给出了中心轴线上点的坐标,最后我们还绘制出中心轴线在平面上的投影

2、图.关键词：三维重建;最大圆;中轴线;有障碍物的最大空隙问题1问题的提出生物组织连续切片的计算机三维重建技术是把一系列切片的图象，通过计算机进行处理,从而得到该生物组织立体结构的一种方法.在切片图象内部寻找定位结构,是此核技术的关键,同时也是目前国内外三维重建技术的共同难题.解决此难题的一个重要方向是通过提取切片中二维图象的数据信息,建立模型,以达到定位效果.假设某类血管表面可视为由球心沿着一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成.现有一此类血管相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交.图象格式为BMP,宽、高均为512个象素（pixel）.假设管道中轴线与每张切片有且只有一

3、个交点,球半径固定,切片间距以及图象象素的尺寸均为1.如果取坐标系的Z轴垂直于切片,第1张切片为平面,第100张切片为平面.切片图象中象素在文件中出现的前后次序为（-256,-256,z）,（-256,-255,z）,…（-256,255,z）,（-255,-256,z）,（-255,-255,z）,…（-255,255,z）,……（255,-256,z）,（255,-255,z）,…（255,255,z）.试计算管道的中轴线与半径,给出具体的算法,并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图.2基本假设和符号说明1)假设血管为实心体,其表面为一包络面；352)假设管道中轴线与每

4、张切片有且只有一个交点,滚动球的半径固定；3)假设切片间距以及图象的象素尺寸均为1；4)表示中轴线,是一空间曲线；5)表示滚动球的半径；6)表示球心沿中轴线滚动形成的包络面；7)表示由曲面与平面,所围成的管道体；8)表示管道体与平面的切片；9)表示的边界.没有说明的符号在文中初次引用时均作出了说明.3问题的分析与模型的建立首先分析题目中所给出的100张图片.对这100张黑白图片通过计算机图象处理,我们可以观察到其切片呈现一个旋转渐变的过程,如图（一）因此我们估计该血管的形状类似一条螺旋管.只要将这一百张切片在空间中定位,由于切片间距非常小（为一个象素）,所以就可以近似地还原出血

5、管的三维结构.现先对每张图作出一些数据上的分析.针对BMP图象的存储格式,我们将所给的图片转为二值图象处理.所谓二值图象,就是只有黑白两个灰度级,即象素灰度级非1即0.我们可以从每张图中读取出一个512阶的0-1矩阵.其中0表示象素为黑色.1表示象素为白色.我们可以给出矩阵元素的位置与题目中所定坐标系之间的坐标变换.即矩阵的第行,第列的元素坐标相应转化为.现在我们把问题转化为数学语言.在笛卡尔坐标系内,有一半径为35的球,沿空间的某一曲线（称为中轴线）,滚动包络形成空间曲面,现有100张平面图,,其中,与曲面围成一实心管道体,现题目就是要求我们求出该管道体的中轴线及滚动球的半径

6、,并要给出中轴线在XY,YZ,ZX平面上的内投影图.现设管道中轴线的方程为：　　　　其中由于管道体中心轴线与每张切片有且只有一个交点,则不妨设中心轴与切片有且只有点,与的间距为1个象素,在如此小的间距下,我们可以用100个交点近似地刻画中轴线.结论1：管道体与平面的切片一定包含一个过滚动球球心,半径为的圆.现证明如下：以中心轴与平面的唯一交点为球心（亦即包含一个滚动球的大圆）,为半径所作出的球与平面交于圆,其中圆的半径为,由于球在管道体内,所以球与平面的切片也在管道体与的切片内,亦即圆在内,结论1得证.结论2：管道体与平面的切片内的最大圆恰好是滚动球中过球心半径为的圆,并且最大

7、圆唯一.现证明如下：由中轴线的方程：　　　　　　　　　　　　　　其中.有曲面（即包络面）的方程来：现考虑,取使得则35　　　　　（3）式的几何意义是,在切片的边界曲线上的点与中轴线和切片的交点的最近距离为,即可作以为圆心,半径为的圆.边界曲线和中轴线与切片的交点的距离达到最大值.又由于每一个属于集合,与中轴线只有唯一交点,故只有唯一点满足,所以切片包含的最大圆唯一.结论2得证.至此,我们只要在每个切片上找出一个能被切片包含的最大圆的圆心,即为该切片与中轴线的交点.就一般包络面而言,切片的最大