历年全国高中数学联赛试题及答案(98-06)

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1、1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．

2、k

3、>1B．

4、k

5、≠1C．－1

6、k

7、<13．平面上有三个点集M，N，P：M={(x

8、，y)

9、

10、x

11、+

12、y

13、<1}，N={(x，y)

14、+<2}，P={(x，y)

15、

16、x+y

17、<1，

18、x

19、<1，

20、y

21、<1}．则A．MPNB．MNPC．PNMD．A、B、C都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θ>；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么

22、表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么=．2．(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则=．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种

23、数为．三．(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为

24、Z1－Z0

25、=

26、Z1

27、，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．-65-1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切n∈N*，an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>．三．在

28、坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．1992年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(每小题5分，共30分)1.对于每个自然数n，抛物线y(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1与x轴交于An，Bn两点，以

29、AnBn

30、表示该两点的距离，则

31、A1B1

32、＋

33、A2B2

34、＋L＋

35、A1992B1992

36、的值是()(A)(B)

37、(C)(D)2.已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x＋)(y＋)=0(B)(x-)(y-)=0(C)(x＋)(y-)=0(D)(x-)(y＋)=03.设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=/S，则一定满足()(A)2<≤4(B)3<<4(C)2.5<≤4.5(D)3.5<<5.5-65-1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b¹1)，且都是方程=logb(4x-4)的根，则△ABC()(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是

38、等腰三角形，也不是直角三角形2.设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且

39、z1

40、=4，4z12-2z1z2＋z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为()(A)8(B)4(C)6(D)123.设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)f(10-x)，f(20-x)-f(20＋x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数二．填空题(