【9A文】幂函数老师版

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：（，、，且）负分数指数幂的意义是：（，、，且）一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：①它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．②时，幂函数

2、图像过原点且在上是增函数．③时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．④任何两个幂函数最多有三个公共点．奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxy【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】OxyOxyOxyOxyOxyOxy三、幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.　规律总结　　1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数

3、幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；　　2．对于幂函数R＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．经典例题透析类型一、求函数解析式例1.已知幂函数，当时为减函数，则幂函数

4、__________．解析：由于为幂函数，所以，解得，或．当时，，在上为减函数；当时，，在上为常数函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为．总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．类型二、比较幂函数值大小例2.比较下列各组数的大小.(1)与；(2)与.解:(1)由于幂函数(R>0)单调递减且，∴.(2)由于这个幂函数是奇函数.∴f(-R)=-f(R)【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】因此，，，而(R>0)单调递减，且，∴.即.总结升华：(1)各题中

5、的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用R<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三【变式一】比较，，的大小.思路点拨：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.解：在上单调递增，且，.作出函数与在第一象限内的图象，易知.故.例3.已知幂函数，，，在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，

6、n4，0，1的大小关系?解:应为n1

7、轴都无交点，，即．又，．幂函数图象关于轴对称，，或．当时，函数为，图象如图1；当时，函数为，图象如图2．【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】举一反三【变式一】若，求实数a的取值范围.解法1：∵，考察的图象，得以下四种可能情况:(1)(2)(3)(4)分别解得:(1).(2)无解.(3).(4).∴a的取值范围是.解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近R轴，R值越大，即

8、R

9、越小，R值越大，∴　要使，即，解得:.总结升华：以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法

10、更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.类型四、讨论函数性质例5.求函数R=的定义域.解:原函数可化为R=∴R[-2，3)∪(3，+∞).总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.例6.讨论函数的单调性.解:可看作是由与u=R2-2R-3复合而成，∵中，u(0，+∞).∴R2-2R-3>0，得