关于立体几何中空间距离问题(很好!一定要看啊)doc

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1、9.9空间距离●知识梳理1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.5.借助向量求距离（1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.（2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.平

2、面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.（3）异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.●点击双基1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为A.B.C.D.1解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易证CE=1.∴选D.答案：D2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是1

3、4，则P到α的距离是A.13B.11C.9D.7解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心.∴OA===5.∴PO==11为所求.∴选B.答案：B3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是A.aB.aC.aD.a解析：A到面MBD的距离由等积变形可得.VA—MBD=VB—AMD.易求d=a.答案：D4.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______.解析：CD=.答案：5

4、或5.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD=.答案：●典例剖析【例1】设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，７），D（－５，－4，8），求D到平面ABC的距离.解：设平面ABC的法向量n=（x，y，z），∵n·=0，n·=0，∴即令z=－2，则n=

5、（3，2，－2）.∴cos〈n，〉=.∴点D到平面ABC的距离为d，d=

6、

7、·

8、cos〈n，〉

9、==.思考讨论求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=

10、

11、

12、cos〈n，〉

13、.【例2】如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且OH⊥O1B，垂足为H.（1）求证：MO∥平面BB1C1C；（2）分别求MO与OH的长；（3）MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线?为什么?求这两条异面直线

14、间的距离.（1）证明：连结B1C，∵MO是△AB1C的中位线，∴MO∥B1C.∵B1C平面BB1C1C，∴MO∥平面BB1C1C.（2）解：MO=B1C=a，∵OH是Rt△BOO1斜边上的高，BO=a，∴OH=a.（3）解：MO不是A1B与AC的公垂线，MO∥B1C，△AB1C为正三角形，∴MO与AC成60°角.∵AC⊥BD，AC⊥OO1，∴AC⊥面BOO1.∵OH面BOO1，∴OH⊥AC，OH⊥A1C1.∵OH⊥O1B，A1C1∩O1B=O1，∴OH⊥面BA1C1，OH⊥A1B.∴OH是异面直线A1B与AC的公垂线，其长度即为这两条异面直线的距离.特别提示在立体几何的计算或证明中

15、，常需要计算直角三角形斜边上的高，据面积关系得它等于直角边的积除以斜边，应作为常识记熟并可直接应用.立体几何问题求解，总体上可分为几何法与代数法，要注意选择最简方法求解.本题（3）利用代数向量方法解答也比较简单.【例3】如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点.求：（1）与所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离.解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B