2002年考研数学三真题及全面解析

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1、2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)设常数，则(2)交换积分次序：.(3)设三阶矩阵，三维列向量.已知与线性相关，则.(4)设随机变量和的联合概率分布为-10100.070.180.1510.080.320.20则和的协方差.(5)设总体的概率密度为而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，

2、则()(A)当时，存在，使.(B)对任何，有.(C)当时，存在，使.(D)存在，使.(2)设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为()(A)5(B)(C)(D)(3)设是矩阵，是矩阵，则线性方程组()(A)当时仅有零解(B)当时必有非零解(C)当时仅有零解(D)当时必有非零解(4)设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵，已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是()(A)(B)(C)(D)(5)设随机变量和都服从标准正态分布，则()(A)服从正态分布(B)服从分布(C)和都服从分布(D)服从分布三、(本题满分5分)求极限四、(本题满分

3、7分)设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求.五、(本题满分6分)设求.六、(本题满分7分)设是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线和直线所围成的平面区域，其中.(1)试求绕轴旋转而成的旋转体体积；绕轴旋转而成的旋转体体积；(2)问当为何值时，取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.八、(本题满分6分)设函数在上连续，且.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组其中，试讨论为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，

4、并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设为三阶实对称矩阵，且满足条件，已知的秩(1)求的全部特征值(2)当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中为三阶单位矩阵.十一、(本题满分8分)假设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量试求：(1)和的联合概率分布；(2).十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】里面为型，

5、通过凑成重要极限形式来求极限，．(2)【答案】【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域与，将它们的并集记为．于是．再将后者根据积分定义化为如下形式，即，所以(3)【答案】【详解】由于与线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有，得或(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)即，得，得(4)【答案】．【详解】、和都是分布，而分布的期望值恰为取时的概率．由离散型随机变量和的联合概率分布表可得的可能取值为0和1，且的可能取值也为0和1，且和的边缘分布为；；；；；故有而边缘分布律：，，，所以，的联合分布及其边缘分布为0100．1

6、80．220．4010．320．280．600．500．501由上表同理可求得的分布律为010．720．28所以由分布的期望值恰为取1时的概率得到：(5)【答案】．【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)期望样本均值用样本均值估计期望有，即，解得未知参数的矩估计量为．二、选择题(1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设在开区间内可导，所以在内连续，因此，对于内的任意一点，必有即有．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：，有，但在内无零点．(C)与(

7、D)的反例，，但(当)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】方法1：是矩阵，是矩阵，则是阶方阵，因．当时，有．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组必有非零解，故应选(D)．方法2：是矩阵,当时,，则，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组必有非零解，即存在，使得，两边左乘，得，即有非零解，故选(D)．(3)【答案】(B)【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，，是阶实对称矩阵，故．设，则上式左乘，右乘，得，即，所以两边左乘，得得根据特征值和特征向量的定义，知的对应于特征值的特征向量为，即应

8、选(B)．方法2：逐个验算(A)，(B