【7A文】分解因式全部方法

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1、【MeiWei81-优质实用版文档】分解因式全部方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3G^2+G=-G(3G-1)）[编辑本段]基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分

2、解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(G-y)+b(y-G)=a(G-y)-b(G-y)=(G-y)(a-b)。注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵

3、公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a

4、^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)例如：a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2。（3）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。3.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①

5、第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。[编辑本段]竞赛用到的方法⑶分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：aG+ay+bG+by=a(G+y)+b(G+y)=(a+b)(G+y)我们把aG和ay分一组，bG和b

6、y分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。aG+ay+bG+by=G(a+b)+y(a+b)=(a+b)(G+y)几道例题：1.5aG+5bG+3ay+3by解法：=5G(a+b)+3y(a+b)=(5G+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5aG和5bG看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2.G^3-G^2+G-1解法：=(G^3-G^2)+(G-1)=G^2(G-1)+(G-1)=(G-1)(G2+1)利用二二分法，提公因式法提出G2，然后相合轻松解决。3.G2-G-

7、y2-y解法：=(G2-y2)-(G+y)=(G+y)(G-y)-(G+y)=(G+y)(G-y-1)【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。⑷十字相乘法这种方法有两种情况。①G^2+(p+q)G+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：G^2+(p+q)G+pq=(G+p)(G+q)．②kG^2+mG+n型的式子的因式分解如

8、果有k=a