高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式教案苏教版

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1、3．3　几个三角恒等式教学分析　　　　　本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体

2、会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导出了公式sinα＋sinβ＝2sincos以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高

3、考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．三维目标　　　　　1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．重点难点　　　　　教学重点：推导积化和差、和差化积公式．10教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　思路1.(

4、复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？推进新课　　　　　和差化积公式的推导、万能公式的应用．在引入

5、对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如logam＋logan＝loga(mn)．同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如sinα＋sinβ＝？观察和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，容易得到sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①由此，有sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sinα＋sinβ＝？这个问题了．令

6、α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得10sinθ＋sinφ＝2sincos，从而有sinα＋sinβ＝2sincos.②为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相

7、应地以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝，代入①式即得②式．证明：(1)因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(

8、α－β)]．(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝，β＝.把α、β的值代入①，即得sinθ＋sinφ＝2sincos.类似的还能得到sinα－sinβ＝2cossin，cosα＋cosβ＝2coscos，