高中数学第一章计数原理1.2.2组合第一课时组合与组合数公式学案含解析

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1、第一课时　组合与组合数公式组合与组合数从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．1．组合一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．组合定义的理解(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也

2、是不同的．(2)无序性是组合的特点，取出的m个元素是不讲顺序的，也就是说元素没有位置的要求．(3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.组合数公式从1,3,5,7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A＝4×3＝12个不同的商．问题2：如何用分步法求商的个数？提示：第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA.问题3：由问

3、题1、问题2你能得出计算C的公式吗？9提示：能．因为A＝CA，所以C＝＝6.问题4：你能把问题3的结论推广到一般吗？提示：可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：第1步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有C种不同的取法；第2步，将取出的m个元素全排列，共有A种不同的排法．由分步乘法计数原理知，A＝C·A，故C＝.组合数公式组合数公式乘积形式C＝＝阶乘形式C＝性质①C＝；②C＝备注①n，m∈N*，m≤n；②规定C＝1，C＝1组合数公式C＝的分子是连续m个正整数n，n－1，n－2，

4、…，(n－m＋1)的乘积，即从n开始减小的连续m个自然数的积，而分母是1,2,3，…，m的乘积．当含有字母的组合式要进行变形论证时，利用此公式较为方便．组合的有关概念　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？　(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．9(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与

5、甲通了一次电话，没有顺序的区别．(3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示．由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc

6、，bd，be，cd，ce，de.与组合数有关的计算　(1)计算：C－C·A；(2)若－<，求n的取值集合．　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.(2)由－<，可得n2－11n－12<0，解得－1

7、计算：C＋C·C.解：原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4950＝5006.　2．求等式＝中的n的值．解：原方程可变形为＋1＝，C＝C，即＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．简单的组合问题　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加．　(1)从中任取5人是组

8、合问题，共有C＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．解答简单的组合问题的方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是