《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

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1、实用文档《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式（1）；（2）；（3）思路点拨:转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.方法二：或解得或，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因为，方程的解为.函数的简图为：所以，原不等式的解集是方法二：（当时，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.标准文案实用文档因为，方程无实数解，函数的简图为：所以不等

2、式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：∵∴原不等式的解集是.总结升华：1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2.当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1)；(2)(3)；(4).【答案】（1）方法一：因为方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是：.方法

3、二：∵原不等式等价于,∴原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化为,因为,方程的解，，标准文案实用文档函数的简图为：所以不等式的解集是.（3）方法一：因为方程有两个相等的实根：，由函数的图象为：原不等式的的解集是.方法二：∵原不等式等价于：,∴原不等式的的解集是.（4）方法一：因为，方程无实数解，由函数的简图为：原不等式的解集是.方法二：∵，∴原不等式解集为.【变式2】解不等式：【答案】原不等式可化为不等式组，即，即，解得∴原不等式的解集为.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2.不等

4、式的解集为，求关于的不等式的解集。思路点拨:由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.标准文案实用文档解析：由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，∴，∴化为，即，解得，故不等式的解集为.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x

5、-3

6、=_______,b=________。【答案】由不等式的解集为{x

7、-3

8、．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3>0,对一切实数x成立，符合题意。若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2

9、-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以，即，∴1

10、1≤m<19}。总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】关于的不等式的解集为空集即的解集为R当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为

11、：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.标准文案实用文档【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，符合题意.当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意当时，只需，即，解得，综上，的取值范围为：.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法例4．解下列关于x的不等式（1）x2-2ax≤-a2+1；（2）x2-ax+1>0；（3）x2-(a+1)x+a<0；解析：(1)∴原不等式的解集