从数学方法论看

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1、高等代数拓展内容之十八从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系侯维民（天水师范学院数学系，甘肃天水，741001）摘要：本文以数学方法论为指导，发掘了高等代数与中学数学在数学知识、数学思想方法、数学观念诸方面的联系．以此说明：注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．关键词：高等代数；中学数学；数学知识；数学思想方法；数学观念中图分类号：G304，G642.42文献标识码：A数学教育的双专业性不但要求数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力

2、；还要求他们懂得系统的教育理论，练就娴熟的教育技能．为使未来的中学数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力，高师数学系除开设“中学数学复习与研究”，“中学数学教材教法”等直接指导中学数学教学的课程外，还开设了“数学分析”、“高等代数”等高等数学类的课程．然而，在长期开设高等数学类课程的实践中，一直存在着两方面的问题．一方面由于中学数学知识难以与高等数学知识直接衔接，使不少大一学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课产生了为难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多高师

3、毕业生对如何用高等数学理论指导中学数学教学感到茫然．为了９【作者简介】侯维民（1947—），男，河南卫辉市人，天水师院教授，大学本科毕业，研究生课程结业，主要从事代数学，数学教育及周易数理研究.．解决上述长期存在的问题，笔者认为措施之一是用数学方法论[1]的望远镜和显微镜来剖析各门高等数学类课程与中学数学的联系．不但挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系．通过这些工作，使师生都清楚地看到：高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高、在思想方法上是中学数学的因袭和扩张，在观念上是中学数

4、学的深化和发展．[2]这样，学生学习高等数学类课程的难度就会大大降低，高等数学类课程对培养中学数学教师的指导作用也会显著增强．下面以高等代数[3]课为例，从数学知识，数学思想方法、数学观念三个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学[4、5、6]的联系．1高等代数与中学数学在知识方面的联系这个问题至少可由以下6点说明．（1）中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则．高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论．（2）中学代数给出了多项式因式分解的常

5、用方法．高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定．（3）中学代数讲一元一次、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系．高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n９次方程根的近似解法及公式解简介．（4）中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元

6、解法，讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系．（5）中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子．中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子．（6）中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型．三角形的不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型．线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高．它不但解释了许多中学数学

7、未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等；而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的．2高等代数与中学数学在思想方法方面的联系以下就十种数学思想方法对照二者之间的联系．（1）抽象化思想．小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期．中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期．高等代数用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体

8、系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统——９向量空间、欧氏空间．随着概念抽象化程度不断的提高，数学研究的对象急剧扩大．（2）化归思想．中学数学里，化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，通过化归矩形推导平行四边形面积公式，这些都用到化归思想．在高等代数里，通过按行按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过分离系数，将线性方