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《2014年高考数学(文)试题分类汇编-M推理与证明》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、数学M单元 推理与证明M1 合情推理与演绎推理16.,[2014·福建卷]已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于________.16.201 14.[2014·全国新课标卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.乙说:我没去过C城市.丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.14.A 14.[2014·陕西卷]已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),
2、n∈N+,则f2014(x)的表达式为________.14. M2 直接证明与间接证明21.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,有++…+<.21.解:(1)f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令f′(x)=0,得x=kπ(k∈N*).当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sinx>0,此时f′(x)<0;当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N)时,sinx<0,此时f′(x)>0
3、.故f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).(2)由(1)知,f(x)在区间(0,π)上单调递减.又f=0,故x1=.当n∈N*时,因为f(nπ)f=[(-1)nnπ+1][(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f(x)的图像是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是单调的,故nπ<xn+1<(n+1)π.因此,当n=1时,=<;当n=2时,+<(4+1)<;当n≥3时,++…+<<<=<<.综上所述,对一切
4、n∈N*,++…+<.M3数学归纳法23.、[2014·江苏卷]已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1+f2的值;(2)证明:对任意的n∈N*,等式=都成立.23.解:(1)由已知,得f1(x)=f′0(x)=′=-,于是f2(x)=f1′(x)=′-′=--+,所以f1=-,f2=-+.故2f1+f2=-1.(2)证明:由已知得,xf0(x)=sinx,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf0′(x)=cosx,即f0(x)+xf1(x)=cosx=sin.类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sinx=sin
5、(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cosx=sin,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kfk-1′(x)+fk(x)+xfk′(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),′=cos·′=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin,因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i)(ii)可知
6、,等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(n∈N*),所以=(n∈N*).M4单元综合
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