硕翰学院2013级第五次双周考试题答案

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1、硕翰学院2013级高二下期第五次双周考试题数学(理工农医类)答案一、选择题：DBAABCCCBDDB二、填空题：①③三、解答题：17.解：（I）因故令由已知又令由已知因此解得因此又因为故曲线处的切线方程为………………………（5分）（II）由（I）知，从而有令－＋－减函数极小值增函数极大值减函数故函数处取得极小值处取得极大值………（10分）18．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.………………（5分）(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝

2、k)＝(k＝0，1，2，3)，………………（9分）所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.………………（12分）4P19．解：（Ⅰ）证明：设与相交于点P，连结PD，则P为中点，D为AC中点，//。又PD平面，//平面D………（4分）（Ⅱ）解法一：由正三棱柱中D是AC的中点，知，又，故，为二面角的平面角，又，，，即二面角的大小为.二面角的大小是……（8分）（Ⅱ）解法二：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（-1，，-），

3、=（-1，0，-）设平面的法向量为n=（x，y，z）则nn则有，令，得n=（，0，1）由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量。设n与所成角为，则，二面角的大小是……（8分）（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知、，设点到平面的距离为，则，故，解得：，即点到平面的距离为.…………（12分）（Ⅲ）解法二：由（Ⅱ）已知，得=（1，，），n=（，0，1）则即点到平面的距离为.…………（12分）20．解：(1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝.又a1＋1＝2，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝，4因此数列{an}的通项公式为：，

4、.…………（6分）(2)证明：①当时，左=，右，左右，∴不等式成立.②假设时，不等式成立，即，那么当时，，∴时，不等式也成立。由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立.…………（12分）21．解：(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.…………（4分）(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1

5、，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM＝－，又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.…………（8分）4②由①可得，

6、TF

7、＝，

8、PQ

9、＝＝＝＝.所以＝＝≥＝.当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．

10、…………（12分）22．解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－k＝－＝.由k≤0可得ex－kx>0，所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．…………（4分）(2)法一：(0，2),,要使函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，则在(0，2)内有两个不等根，即，令，，则，在(0，1)上单调递减，在单调递增，要使与有两个交点，则.k的取值范围为.…………（8分

11、）(3),即证：，,即证：又对恒成立，只需证：，即证：即证：，令，令，在(0，1)上单调递减，在单调递增，，即有成立.综上：…………（12分）4