空间几何体的内切球与外接球问题

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1、空间几何体的内切球与外接球问题1．[2016·全国卷Ⅱ]体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A．12πB.πC．8πD．4π[解析]A　因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2，所以正方体的外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π.2．[2016·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)A．4πB.C．6πD.[解析]B　当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8

2、，∴8－r1＋6－r1＝10，解得r1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2，则2r2＝3，即r2＝.∴球的最大半径为，故V的最大值为π×＝π.3.[2016·郑州模拟]在平行四边形ABCD中，∠CBA＝120°，AD＝4，对角线BD＝2，将其沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为________．答案：π；解析：因为∠CBA＝120°，所以∠DAB＝60°，在三角形ABD中，由余弦定理得(2)2＝42＋AB2－2×4·AB·cos60°，解得A

3、B＝2，所以AB⊥BD.折起后平面ABD⊥平面BCD，即有AB⊥平面BCD，如图所示，可知A，B，C，D可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径，易知AC＝＝2，所以球的体积为π.4.[2016·山西右玉一中模拟]球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为(　　)A.B.C．2D．4选A；[解析](1)由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可

4、知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥SABC的体积最大．因为△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r＝OC＝CH＝××2＝.在Rt△SHO中，OH＝OC＝，所以SH＝＝1，故所求体积的最大值为××22×1＝.5.[2016·赣州模拟]如图73819所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为(　　)图73819A．πB．2πC．4πD．8π选D；解析：因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，

5、如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝，所以AE＝，AD＝R，DE＝2R，则有R2＋6＝(2R)2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.6.[2016·安徽皖南八校三联]如图所示，已知三棱锥ABCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝，BC＝2，CD＝，则球O的表面积为(　　)A．12πB．7πC．9πD．8π[解析]A　由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥ABCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2

6、＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4πR2＝12π.7．[2016·福建泉州质检]已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，且点O到平面ABC的距离为2，则球O的表面积为________．答案：20π　[解析]在△ABC中用余弦定理求得AC＝，据勾股定理得∠BAC为直角，故BC的中点O1即为△ABC所在小圆的圆心，则OO1⊥平面ABC，在直角三角形OO1B中可求得球的半径r＝，则球O的表面积S＝4πr2＝20π.8.[2016·河南中原名校一联]如图K3816所示，ABCDA1B1C1D1是边长为1的正方体

7、，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)图K3816A.πB.πC.πD.π选D；[解析]如图所示作辅助线，易知球心O在SG1上，设OG1＝x，则OB1＝SO＝2－x，同时由正方体的性质知B1G1＝，则在Rt△OB1G1中，由勾股定理得OB＝G1B＋OG，即(2－x)2＝x2＋，解得x＝，所以球的半径R＝2－＝，所以球的表面积S＝4πR2＝π.9．[2013·课标全国Ⅰ]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球

8、面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由