4-5简单的三角恒等变换

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1、4.5简单的三角恒等变换一、选择题1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于(　　)A．－3B．－C．3D.解析：tan(α－β)＝＝＝＝.答案：D2．下列各式中，值为的是(　　)A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°解析：cos215°－sin215°＝cos30°.答案：B3．等式

2、sinαcosα

3、＋

4、sin2α－cos2α

5、＝成立的充要条件是(　　)A．α＝kπ(k∈Z)B．α＝(k∈Z)C．α＝(k∈Z

6、)D．α＝(k∈Z)解析：由题意知：原式＝

7、sin2α

8、＋

9、cos2α

10、＝∴

11、sin2α

12、＋

13、cos2α

14、＝1，∴1＋2

15、sin2αcos2α

16、＝1，

17、sin4α

18、＝0，α＝(k∈Z)．答案：C4．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于(　　)A．－B.　C．－D.解析：原式＝sin163°·sin223°＋cos163°cos223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝.答案：B二、填空题5．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝_____

19、___.解析：∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝②由①②解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tanαtanβ＝＝.答案：6．求值：cos4＋cos4＋cos4＋cos4＝________.解析：原式＝2＝2＝2＝2＝.答案：7．函数y＝

20、sinx

21、cosx－1的最小正周期与最大值的和为________．解析：y＝

22、sinx

23、cosx－1＝其图象如图所示：函数最小正周期T＝2π，最大值ymax＝－，故最小正周期与最大值之和

24、为2π－.答案：2π－三、解答题8．用tanα表示sin2α，cos2α.解答：sin2α＝2sinαcosα＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝.9．已知＝，求sin2的值．解答：＝＝sin2x＝，sin2＝＝＝＝.10．已知cos＝，≤α<，求cos的值．解答：cos＝cos2αcos－sin2αsin＝(cos2α－sin2α)，∵≤α<π，∴≤α＋<π.又cos＝>0，故可知π<α＋<π，∴sin＝－，从而cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－.sin2α＝－cos＝1－2cos2＝

25、1－2×2＝.∴cos＝(cos2α－sin2α)＝×＝－.1．已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈.若·＝－1，求的值．解答：AC＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，由·＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝，2sinα·cosα＝－，又＝＝2sinαcosα＝－，故所求的值为－.2．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA＝，(1)求tan2＋sin

26、2的值；(2)若a＝2，S△ABC＝，求b的值．解答：(1)因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝，所以cosA＝.则tan2＋sin2＝＋sin2＝＋(1－cosA)＝＋＝.(2)因为S△ABC＝，又S△ABC＝bcsinA＝bc·＝，则bc＝3.将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，得b4－6b2＋9＝0，解得b＝.