专题10 函数（指数函数等）模型及其应用

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1、第10讲：函数（指数函数、对数函数和分段函数）模型及其应用【考纲要求】1、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2、了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。【基础知识】1、指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度快于y=xn的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有2、对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)对数函数y=lo

2、gax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量表示为12的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：六．解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是

3、基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．七、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等。例1.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题。（1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式；（2）计

4、算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？（参考数据：，）[来源:Z#xx#k.Com]12【变式演练1】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前。（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据

5、供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78[来源:学+科+网]对数0.47710.69901.09621.11761.139212例2.某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①；②；③（以上三式中均为常数，且）。（1）为准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数，为什么？（2）若，求出所选函数的解析式（注：函数的定义

6、域是.其中表示4月1日，表示5月1日，，以此类推）；（3）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌。[来源:学科网]12【变式演练2】长春亚泰足球俱乐部准备为救助失学儿童在吉林省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg2x，则这三种门票的张数分别为万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.例3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的天内，西红柿市场售价与上市

7、时间的关系用下图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图中（2）的抛物线表示．（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元，时间单位：天）当时，配方整理得，所以，当时，取得区间上的最大值；当时，配方整理得，所以，当时，取得区间上的最大值．12综上，由可知，在区间上可以取得最大值，此时，即从二月一日开始的第天时，上市的西红柿纯收益最大.【点评】（1