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1、隐藏在势能函数里的信息引子——线性恢复力作用下的运动永远指向平衡位置的力称恢复力。恢复力的大小与偏离/形变/位移成正比时，称为线性恢复力。受线性恢复力作用的质点的运动方程为：（1）或（2）解为或A称振幅，ω称角频率/圆频率，φ/δ称初相。运动方式(3)称为简谐振动。其特点是，频率与振幅无关。（3）xU2.设有一质点受保守力作用沿x轴运动，势能函数为.势能曲线如下。曲线与x轴的交点a,b,称为U曲线的零点，它们满足方程:abx1x0x2在x=x0,x1,x2处，势能曲线上的点d,c,e有水平切线。它们称为曲线的极值点，
2、又称平衡点。极值点的横坐标满足方程：(5)cde(4)oxUx1x0x2极值点可分为以下3类：1.极大如e,满足条件cde3.拐点如c,满足条件2.极小如d，满足条件Exffg质点运动范围不稳定平衡点。不稳定平衡点。稳定平衡点。质点的机械能守恒：o在保守力场中运动的质点，满足机械能守恒条件。设能量值为E,在图中用红色水平线表示。当质点位于x处时，其势能值为兰色箭头所示，向下为负；动能为蓝色箭头所示，向上为正。两者之和为E.因动能不可能为负，质点被限制在f,g之间作往复周期性运动,满足条件E≥U(x)。xUx1x0x2
3、cdeExffg质点运动范围因动能是非负的，质点运动范围便是：o3.质点在势能曲线极小点附近的行为设能量值E只比势能极小值U(x0)大一个小量ΔΕ<<1:xUx0Exffg运动范围●U(x0)E-U(x0)=ΔΕ<<1(6)质点的运动范围也会很小：E≥U(x)x1x2-x1<<1x2因而任何时刻质点到x0的距离都满足条件：(7)oxUx0Exffg运动范围●U(x0)x1x2(9)质点运动方程：将函数U′(x)在x0的邻域内展开成泰勒级数，取到一阶小量：引入新变量(8)(10)它就是质点相对于稳定平衡点x0的偏离。于
4、是方程(8)成为(11)由于，（11）是ε的简谐振动方程，圆频率为(12)o以上分析表明：任何系统，在其稳定平衡状态（如果存在的话）附近受到微小扰动时，系统将作微幅简谐振动。其频率与振幅无关，为(13)这是一个用途极其广泛的结果：小到晶体中的晶格振动，大到建筑结构的小振动，都服从这个规律。这种振动不会破坏系统的稳定结构。任何人为设计的结构，都应使其工作状态处于势能极小附近。无所不在的微扰能量会被这种非破坏性的振动吸收。4.我们现在来将上述结果推广到中心力作用下的二维运动。用平面极坐标系讨论中心力问题很方便。取力心（在
5、惯性空间静止）为原点。中心力都是保守力，设势能函数为。质点动能为●●rmθ极轴力心o机械能守恒表示式为(14)中心力问题角动量守恒：为常矢，垂直图面向外。将角动量守恒式写成投影形式：（15）（15）代入（14）消去,得到机械能守恒与角动量守恒相结合的关系式：（16）注意（16）只含一个坐标变量r,横向运动看不见了！定义径向坐标函数（17）（16）就成为（18）这不就是一个只作径向运动的质点的机械能守恒式吗？(17)定义的称为中心力问题的等效势函数。设想观察者坐在随质点一起绕力心旋转的轴上，他只能看见质点作径向运动，质
6、点的动能就是●●力心极轴势能就是机械能守恒就是（18）这就是观察者看见的质点运动微分方程。将（18）对时间求导：约去，得（19）我们可以用等效势函数讨论径向运动的种种特性。以点状弹簧问题为例：设质点受力●●rmθ极轴弹性力心o弹性势函数等效势函数以下用数学分析方法讨论等效势函数的性质：①令解出等效势极值点坐标：(20)rE0r0右图所示为二维胡克力场的等效势曲线。因为质点的机械能与角动量均守恒，可设其值分别为E与L.当E=E0=时，能量线与等效势曲线相切，r只能取唯一可能值r0.此时质点无径向运动。在惯性空间内，质点
7、作圆周运动。反平方双曲线抛物线由此可见，若等效势曲线有极小，且机械能E=等效势极小值,则质点绕质心作半径为r0的圆运动。o这与(20)一致。即，圆周运动半径是方程的根，也就是等效势曲线的极小点的横坐标。按牛顿定律，向心力公式为化成rE0r0②由图知，能量E不可能小于E0.最小能量E0与角动量为L,半径为r0的圆运动对应。orEr0③若能量值为E,能量线与曲线相交于两点，其横坐标为r1与r2.r1r2r质点的径向运动范围便是：在随质点一起绕力心旋转的径向坐标系内，质点受力为（21）（22）上式右方第二项是胡克力，第一项
8、就是惯性离心力。在r>r0处，f(r)<0,在r0,力f永远指向平衡点r0.这表明：质点在横向与径向同时在作往复周期运动。o④质点在绕力心旋转的同时还要做径向振动，这是一种什么样的复合运动呢？可能有两种情况：rE0r0横向运动周期/频率与径向运动周期/频率成简单整数比，则质点运动轨迹是封闭曲线（李萨茹图形）；横向运动周期/频
