数学建模第五讲

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1、.....内容备注数学建模课程教案讲课题目：第五讲微分方程模型目的要求：了解微分方程在数学建模中应用重点难点：微分方程模型在数学建模中的应用方法步骤：理论讲授器材保障：多媒体设备教学内容与时间安排:微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济、军事、生态、社会等各个领域有着广泛的应用。因此，如何对实际问题建立起微分方程就成了重要的，而且是和解方程截然不同的问题，这就是微分方程的建模问题。这些问题常常是困难的，但也并非是“无章可循”，事实上运用微分方程解决实际问题，常有一定的模式。所谓模式就是问题所遵循的共性规律，或者分析实际问题时所采用的共

2、同方法。建立微分方程模型需对研究对象作具体分析，一般有以下三种方法：一是根据问题所遵循的规律（如电学、热学、力学、物理学）建模；二是用微元法建模，即分析微元之间的关系式；三是用模拟近似法建模。建立微分方程模型只是解决问题的第一步。通常要求出方程的解来说明实际现象，并用以检验。如果能得到解析形式的解固然便于分析和应用，但许多方程是求不出解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的方法。5.1微分方程的简单应用问题40分钟例1（物体达到的最大高度）在地面上以初速度铅直向上发射一质量为m的物体，设地球引力与物体到地心的距离平方成反比，求物体可能达到的最

3、大高度。若物体脱离太阳系，则应为多少？模型建立记地球半径为R，假设空气阻力不计。随进度板书标题、提纲，内容、例题用PPT演示，建模过程讲解板书。时间分配随课堂情况调整学习参考.....设在t时刻物体上升的高度为（即离开地面的高度），则根据Newton万有引力定律知，物体受地球的引力为（）(5.1.1)其中为比例系数。因为当物体在地面上时，，即故所以又物体在上升过程中满足Newton第二定律所以整理得（5.1.2）此即为物体运动过程中的数学模型，它是一个二阶微分方程。模型求解令则以之代入（5.1.2）式，有分离变量得积分得再代入初始条件，可得学习参考..

4、...故由于物体达到最大高度时，，所以由解得物体的最大高度为（5.1.3）如果物体要脱离地球引力而进入太阳系，必须，由（5.1.3）式知，此时必有，所以应取（5.1.4）将代入（5.1.4）式，可得即应为第二宇宙速度。思考题：若有空气阻力，如何建立其数学模型。例2（液体的浓度稀释问题）在甲、乙两个大桶内各装有100L的盐水（两桶均未装满），其浓度均为5g/L。现用一根细管将净水以2L/min的速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合液仍以2L/min的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中不会溢出）；然后用细管以1L/min的速度从乙桶将混合液输

5、出。问时刻t乙桶盐水的浓度是多少？模型建立与求解设分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。先分析甲桶：任取一段时间，则该时段甲桶内盐的改变量为两边同除以，并令，得初值问题（5.1.5）学习参考.....这就是甲桶中盐含量的数学模型。对（5.1.5）式分离变量并积分，可得它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。现分析乙桶：同理在任意时间段内乙桶内盐的改变量为两边同除以，并令，得初值问题（5.1.6）这就是乙桶中盐含量的数学模型。将代入（3.1.6）并整理得（5.1.7）求解此一阶线性微分方程，得所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为例3（凶杀作案时间的推断问题

6、）某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为,室内环境温度为。已知在环境温度状况下尸体在最初2小时其温度下降，若假定室内环境基本上为恒温，试推断这一凶杀作案的时间。问题分析该问题归结为物理上的冷却现象，需要运用Newton冷却定律“物体在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比”来解决。由于速度刻画的是物体在某时刻的变化率，涉及学习参考.....导数的概念，因此反映在数学模型上必然可以运用微分方程来建模。模型建立现就一般情形考虑，记为时刻t物体的温度，为初始时刻物体的温度（本例中为受害者被害时的体温），

7、为介质（环境）温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型(5.1.8)其中为比例系数，由物体和介质的性质来决定，而负号则表示温度是下降的。模型求解对数学模型（5.1.8）分离变量法求解，易得（5.1.9）这就是物体冷却过程中物体温度随时间变化的函数关系。在根据物体和介质的性质确定值后，利用与值已知的条件，由（5.1.9）式就可以得到便于应用的形式（5.1.10）下面介绍确定参数的两种方法。方法一利用已知介质（环境）温度下物体在最初时间段其温度下降度数为这一条件来确定。此时有将其代入到（5.1.9）式中，有解得于是得（5.1.11）学习参考.

8、....（5.1.12）方法二利用在现场过一段时间增加一次温度测定从而增加一个条件的方法来确定