19.2特殊的平行四边形（通用）

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1、菱形讲义菱形知识精讲一．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．二．菱形的性质　　菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有．此外，它还具有以下性质：1．菱形的四条边都相等；2．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．3．是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．三．菱形的判定1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3．四条边都相等的四边形是菱形．四．面积问题如下图：．三点剖析一．考点：1．菱形的性质；2．菱形的判定；3．面积问题． 二．重难点：菱形的性质和应用，菱形的证明与判定． 三．易错点：矩

2、形和菱形性质的区别．例题讲解一：性质例1.1.1如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是____15A．3B．4C．1D．2【答案】D【解析】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，同理：∠DBF=60°，即∠A=∠DBF，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，∴∠ADE

3、=∠BDF，∵在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△△BDF（ASA），∴DE=DF，∵∠EDF=60°，∴△EDF是等边三角形，∴②正确；∴∠DEF=60°，∴∠AED+∠BEF=120°，15∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，∴∠ADE=∠BEF；故④正确．∵∠ADE=∠BDF，同理：∠BDE=∠CDF，但∠ADE不一定等于∠BDE，∴AE不一定等于BE，故①错误；∵△ADE≌△△BDF，∴AE=BF，同理：BE=CF，但BE不一定等于BF．故③错误．故选D．例1.1.2如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为

4、E，连接DF，则∠CDF等于（　　）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B【解析】如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD，∵∠BAD=80°，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，15∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选B．例1.1.3已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角

5、线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，15∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°-30°=60°，∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°，∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，∴OD=AD=×2=1，∴AO

6、===，∴AE=CF=×=，∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，∴高EF=2×=，在Rt△CEF中，CE===．二：判定例1.2.1如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是（　　）A．AB=BCB．AC⊥BDC．BD平分∠ABCD．AC=BD【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱

7、形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；15由排除法可得D选项错误．故选D．例1.2.2如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是（）A．四边形是梯形B．四边形是菱形C．对角线D．【答案】D【解析】在四边形中，分别是的中点，，，；同理，，四边形是平行四边形；A、若四边形是梯形时，，则，这与平行四边形的对边相矛盾；故本选项错误；B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误；C、若对角线时，四边形可能是等腰梯形，证明同选项；故本选项错误；D、当时，；所以平行四边形是菱形；故本选项