《数理金融理论与模型》习题解答

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1、《数理金融理论与模型》习题解答第一章金融市场第一章练习题解答1.已知一家上市公司在下一年度分红为2元/股，该公司业绩年均增长率为5%，并且红利分配以同样的增长率增加，并且假设每年的贴现率都为10%，那么这家上市公司现在的股票内在价值是多少？解答：2.下表给出了“2005年记账式(四期)国债”的基本信息，假设2010年3月19日观察到的到期收益率曲线为水平直线4%，则问这一天“2005年记账式(四期)国债”的价值应该是多少？债券名称2005年记账式(四期)国债债券简称05国债(4)债券代码010504发行额(亿元)339.20发行价(元)1

2、00.00发行方式利率招标期限(年)20.00发行票面利率(%)4.11上市场所上海证券交易所计息日2005-05-15到期日2025-05-15发行起始日2005-05-15发行截止日2005-05-19发行单位财政部还本付息方式半年付息到期收益率(%)3.8903 剩余期限(年)15.0795 发行对象在证券登记公司开立股票和基金账户,在国债登记公司开立一级债券账户的各类投资者。解答：3.请简要叙述利用复制技术与无套利原理对金融衍生品定价的原理与步骤，认真体会为什么由这个方法定出来的价格称为无套利价格。并仔细回顾本章中如何利用复制技术

3、和无套利原理进行衍生品定价，以及推导期权的价格性质。解答：见第二节内容1.请利用构造股票和储蓄存款组合复制远期合约的方式，以及无套利原理证明股票远期的定价公式，请分别就股票不支付红利与支付红利的情形构造组合，并给出无套利定价公式。解答：Case1：无红利支付情形：组合一：一个远期合约多头；组合二：一份不支付红利的标的股票多头和存款（即借款）；记两个组合的价值函数分别为和，则显然两个组合在时刻的价值为，即时刻的价值可以完全复制。由无套利原理可知对任意，都有，即：由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的价值

4、应该等于零，也就是说对于任意，都有，从而可以得到远期执行价格的定价公式为：Case2：支付连续红利q情形：组合一：一个远期合约多头；组合二：份支付红利的标的股票多头和存款（即借款）；记两个组合的价值函数分别为和，则显然组合一在时刻的价值为。由于股息连续累计，t时刻的1份股票在T时刻的价值为，从而组合二在时刻的价值为，即时刻的价值可以完全复制。由无套利原理可知对任意，都有，即：由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的价值应该等于零，也就是说对于任意，都有，从而可以得到远期执行价格的定价公式为：2.假设投资

5、者在2010年3月12日签订一份股票远期合约，合约的到期日为2010年9月12日，标的股票当日价格为5元每股，若一年期银行存款利率为单利3%，则这份合约的执行价格应该是多少？若到2010年7月12日股票价格涨到了6元，而一年期银行存款利率仍然为3%，那么在这一天该远期合约多头的价值是多少？解答：2010年3月12日：对应t=0，此时S0=5，r=3%，T=0.5，从而这份远期合约的执行价格应该是：2010年7月12日：对应t=1/12，此时St=6，r=3%，T-t=5/12，从而次远期合约多头价值为：1.假设2010年6月17日的半年期

6、与一年期无风险利率分别为单利2.5%与3%，则这一天确定的3×6远期单利是多少？解答：以连续复利表示的两个即期利率为：则连续复利表示的3×6远期利率是：则3×6远期单利是：2.请利用复制技术和无套利原理证明欧式看涨期权与欧式看跌期权价格关于执行价格分别呈现单调递减与单调递增的关系。解答：只证明看涨期权：不妨设组合一：一个执行价格为看涨期权多头；组合二：一个执行价格为看涨期权多头；则，。分一下三种情形：，和分别讨论，均可得：即，从而，即1.H公司和L公司都需要从银行B借入期限为3年，本金为1000万人民币的贷款，银行B向两家公司提供的贷款利

7、率为：固定利率浮动利率H公司5.0％SHIBOR+0.2%L公司6.5％SHIBOR+0.7%H公司需要的是浮动利率贷款，L公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中银行B作为中介获得的报酬是0.1％的利差，而且要求双方平分互换收益。解答：H公司需要的是浮动利率贷款，能够获得的浮动利率是SHIBOR+0.2%L公司需要的是固定利率贷款，能够获得的固定利率是6.5％总的利率是(SHIBOR+0.2%)+6.5％=SHIBOR+6.7%如果两公司利用各自的比较优势，能够获得的总利率是：(SHIBOR+0.7%)+5.0％=SHIBOR

8、+5.7%因此，利用比较优势，如果H公司以固定利率借款，L公司以浮动利率借款，然后二者进行利率互换，可以节省1%的总利率。这个节省下来的成本0.1％留给银行B，剩下的0.9%二者平分，即都获得