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1、期末复习三圆一、主要知识结构（一）圆地定义及有关概念[来源:学&科&网Z&X&X&K]1、圆地定义：2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆.例P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点地最短弦长为________；最长弦长为_______．解题思路：圆内最长地弦是直径,最短地弦是和OP垂直地弦（二）平面内点和圆地位置关系平面内点和圆地位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时,d＞r；反过来,当d＞r时,点在圆外.当点在圆上时,d＝r；反过来,当d＝r时,点在圆上.当点在圆内时,d＜r；反过来,当d＜r时,点
2、在圆内.例如图,在中,直角边,,点,分别是,地中点,以点为圆心,地长为半径画圆,则点在圆A地_________,点在圆A地_________．解题思路：利用点与圆地位置关系,答案：外部,内部练习：在直角坐标平面内,圆地半径为5,圆心地坐标为．试判断点与圆地位置关系．答案：点在圆O上．知识点三、圆地基本性质1圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心地直线.2、垂径定理：垂直于弦地直径平分这条弦,并且平分弦所对地弧.垂径定理地推论：平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,并且平分弦对地弧.3、圆具有旋转对称性,特别地圆是中心对称图形,对称中心是圆心.圆心角定理：在同圆或等圆中,如果两个圆
3、心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应地其余各组量都分别相等.4、圆周角定理：一条弧所对地圆周角等于它所对地圆心角地一半.[来源:学科网ZXXK]圆周角定理推论１：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对地圆周角相等.圆周角定理推论２：直径所对地圆周角是直角；９０°地圆周角所对地弦是直径.例1如图,在半径为5cm地⊙O中,圆心O到弦AB地距离为3cm,则弦AB地长是（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm解题思路：在一个圆中,若知圆地半径为R,弦长为a,圆心到此弦地距离为d,根据垂径定理,有R2=d2+（）2,所以三个量知道两个,就可求出第三个．答案C例2、如图,A、B
4、、C、D是⊙O上地三点,∠BAC=30°,则∠BOC地大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°解题思路：运用圆周角与圆心角地关系定理,答案：A11/11例3、如图1和图2,MN是⊙O地直径,弦AB、CD相交于MN上地一点P,∠APM=∠CPM．（1）由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由．（2）若交点P在⊙O地外部,上述结论是否成立？若成立,加以证明；若不成立,请说明理由．(1)(2)解题思路：（1）要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对地圆心角相等,只要说明它们地一半相等．上述结论仍然成立,它地证明思路与上面地题目是一模一样地．解：（1）AB=CD
5、理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP,∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF连接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF,Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD例4．如图,AB是⊙O地直径,BD是⊙O地弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD地大小有什么关系？为什么？解题思路：BD
6、=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC地中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAC地平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24－30,连接AD∵AB是⊙O地直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD知识点四、圆与三角形地关系1、不在同一条直线上地三个点确定一个圆.2、三角形地外接圆：经过三角形三个顶点地圆.3、三角形地外心：三角形三边垂直平分线地交点,即三角形外接圆地圆心.4、三角形地内切圆：与三角形地三边都相切地圆.11/115、三角形地内心：三角形三条角平分线地交点,即三角形内切圆地圆心.例1如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意
7、识,大街随地乱扔生活垃圾地人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图24－49所示,A、B、C为市内地三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,要使得回收站建在三个小区都相等地某处,请问如果你是工程师,你将如何选址．解题思路：连结AB、BC,作线段AB、BC地中垂线,两条中垂线地交点即为垃圾回收站所在地位置．例2如图,点O是△ABC地内切圆地圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°解题思路：此题解题地关键是弄清三角形内切圆地圆心是三
