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1、离散数学李书杰合肥工业大学lisjhfut@hfut.edu.cn离散数学1学习内容10.1无向树10.2根树23如果将上图看作一个图的话，这个图就是一棵树，如下图。4定义10.2.1无向树－－从无向图出发定义的树无向树(树):连通而无回路的无向图，一般用T＝表示叶:树中度数为1的顶点分支点/内部结点:树中度数>1的顶点森林:一个非连通图，如果其每个连通分支都是树，则称为森林平凡树:平凡图，只有一个点且无边的图右图为一棵12阶树.声明:本章中所讨论的回路均指简单回路或初级回路5无向树的性质定理10.2.1设G=
2、是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：（1）G是树(连通无回路);（2）G中无回路且m=n1;（3）G是连通的且m=n1;（4）G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,就会得到一条唯一的基本回路.（5）G是连通的且G中任何边均为桥;（6）G中任意两个顶点之间存在惟一的一条基本通路。6(1)(2)的证明如果G是无回路的连通图，则G中无回路且m=n1，其中m是边数，n是结点数证明归纳法。当n=2时，因为G连通无回路，所以只有m=1，故m=n-1成立。假设n=k-1时命题成立，当n=k时，因G是无回路且连通，则
3、至少有一个度为1的结点u，设与其关联的边为(u,w)，删去u，得到一个k-1个结点的连通无向图G’，7(1)(2)的证明（续）由归纳假设可知，G’的边数m’=n’-1=(k-1)-1=k-2。再将结点u及(u,w)放入原位，恢复到图G，那么G的边数m=m’+1=(k-2)+1=k-1，结点数n=n’+1=k，故m=n-1成立。8(2)(3)的证明如果G中无回路且m=n1，其中m是边数，n是结点数，则连通且m=n1;只须证明G是连通的。证明设G有k个连通分枝G1,…,Gk(k≥1），Gi有ni个结点,mi条边，因为Gi连通无
4、回路，所以有mi=ni-1，n=n1+n2+…+nkm=m1+m2+…+mk=(n1-1)+(n2-1)+…+(nk-1)=n-k因为m=n-1，所以k=1，故G是连通的。9(3)(4)的证明如果G连通且m=n1，则G中无回路,但增加一条新边，得到一个且仅有一个包含新边的回路。证明归纳法。当n=2时，m=n-1=1，必无回路，如果增加一边得到且仅得到一个回路。设n=k-1时命题成立。考察n=k时的情况。因为G是连通的，所以每个结点u有deg(u)≥1，下面证明至少有一个结点u0使deg(u0)=1。若不存在，则每个结点的度至少
5、为2，所以2n≥2m，即n≥m，这与m=n-1矛盾。10(3)(4)的证明首先证明G中也无回路删去u0及其关联的边，得到含有k-1个结点的图G’，G’连通且m’=n’1。由归纳假设知G’无回路。在G’中加入u0及其关联的边恢复到G，则G无回路。再证明在G中任意两结点之间增加一条边，得到一条且仅有一条回路。若在G中增加一条边(ui,uj)，因为G连通，则在G中存在一条从ui到uj的路，那么这条路与新加入的边(ui,uj)构成回路，而且这个回路是唯一的。若不唯一，删掉边(ui,uj)边,G中必有回路，矛盾。11(4)(5)的证明
6、如果G中无回路,但增加一条新边，得到一个且仅有一个包含新边的回路，则G连通且每条边均为桥。证明反证法。假设G不连通，则存在结点ui与uj，在ui和uj之间没有路，所以增加边(ui,uj)不会产生回路，与已知矛盾。由于G无回路，故删掉任意条边e都使G-e为非连通，所以G中每条边都是桥。12(5)(6)的证明如果G连通且每条边均为桥，则G中任意两个结点之间存在惟一的路径。证明由G是连通的可知，任意两个结点间有一条路，若存在两点它们之间有多于一条的路，则G中必有回路，删去该回路上任一边，图仍是连通的，与G中每条边都是桥矛盾。13(6)
7、(1)的证明如果G中任意两个结点之间存在惟一的路径，则G是无回路的连通图。证明因为任意两结点间有唯一条路，则图G必连通。若G有回路，则在回路上任意两结点间有两条路，与已知矛盾。14定理10.2.2设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶.证设T有x片树叶，m条边。由握手定理及定理10.2.1可知，由上式解出x2.无向树的性质(续)15例题例1已知无向树T中,有1个3度顶点,2个2度顶点,其余顶点全是树叶.试求树叶数,并画出满足要求的非同构的无向树.解用树的性质m=n1和握手定理.设有x片树叶，于是n=1+2+x=3+x
8、,2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x解出x=3，故T有3片树叶.T的度数列为1,1,1,2,2,3有2棵非同构的无向树,如图所示16例题例2已知无向树T有5片树叶,2度与3度顶点各1个,其余顶点的度数均为4.求T的阶数n.解设T
