树和二叉树1-树的定义和性质

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1、数据结构讲义第6章树和二叉树黄可坤嘉应学院—树的定义和性质1树的定义树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构。定义定义：树(tree)是n(n>0)个结点的有限集T，其中:有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)特点：树中至少有一个结点——根树中各子树是互不相交的集合A只有根结点的树ABCDEFGHIJKLM有子树的树根子树基本术语结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支结点的度(degree)

2、——结点拥有的子树数叶子(leaf)——度为0的结点孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~兄弟(sibling)——同一双亲的孩子树的度——一棵树中最大的结点度数结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……深度(depth)——树中结点的最大层次数森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合ABCDEFGHIJKLM结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0叶子：K，L，F，G，M，I，J结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F结点I的双亲：D结点L的双亲：E结点B，

3、C，D为兄弟结点K，L为兄弟树的度：3结点A的层次：1结点M的层次：4树的深度：4结点F，G为堂兄弟结点A是结点F，G的祖先bacghdefij树的表示树形表示图形表示法：教师学生其他人员99级2000级2001级2002级……华中科技大学计算机系电信系自控系……叶子根子树凹入表表示abdeijfcgh嵌套集合表示嵌套括号表示ijdfghabcea(b(d,e(i,j),f),c(g,h))2二叉树定义定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成。特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点

4、)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒基本形态A只有根结点的二叉树空二叉树AB右子树为空AB左子树为空ABC左、右子树均非空二叉树性质性质1：证明：用归纳法证明之i=1时，只有一个根结点，是对的假设对所有j(1j

5、度为1的结点数。因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2。所以：其结点总数n=n0+n1+n2。又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入。设B为分支总数，则n=B+1。又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2n0=n2+1几种特殊形式的二叉树满二叉树定义：一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树成为~特点：每一层上的结点数都是最大结点数完全二叉树定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为~特点叶子结点只可能在层次最大的两层上出现对任一结

6、点，若其右分支下子孙的最大层次为L，则其左分支下子孙的最大层次必为L或L+11231145891213671014151231145891267101234567123456性质性质4：性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1二叉树的存储结构顺序存储结构实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素特点：结点间

7、关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树abcdefgabcde0000fg1234567891011链式存储结构二叉链表typedefstructnode{datatypedata;structnode*lchild,*rchild;}JD;lchilddatarchildABCDEFG在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域ABCDEFG^^^^^^^^三叉链表typedefstructnode{datatypedata;structnode*lchild