高考数学 数学思想方法

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1、Gothedistance第1讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学思想，高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等，对数形结合思想的考查，一般体现在填空题中．1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而

2、使问题获得解决的思想方法．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．2．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方

3、程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．3．数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的1Gothedistance联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．4．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的

4、代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用[微题型1]运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题217【例1－1】设函数f(x)＝cosx＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤对一切4x∈R恒成立，求a的取值范围．2解f(x)＝cosx＋sinx＋a－12＝1－sinx＋sinx＋a－1121＝－sinx－

5、＋a＋.241因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝时，21函数有最大值f(x)max＝a＋，4当sinx＝－1时，函数有最小值f(x)min＝a－2.17因为1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，417所以f(x)max≤且f(x)min≥1，4117a＋≤，即44解得3≤a≤4，a－2≥1，所以a的取值范围是[3，4]．2Gothedistance探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般

6、可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．[微题型2]运用函数与方程思想解决数列问题n*【例1－2】已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3(n∈N，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列．(1)求p的值及数列{an}的通项公式；2n4(2)设数列{bn}满足bn＝，证明：bn≤.an9n(1)解由a1＝3，an＋1＝an＋p·3，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.因为a1，a2＋6，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2

7、＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，n得p＝2，依题意知，an＋1＝an＋2×3.1当n≥2时，a2－a1＝2×3，2n－1a3－a2＝2×3，…，an－an－1＝2×3.12n－1将以上式子相加得an－a1＝2(3＋3＋…＋3)，n－13×（1－3）n所以an－a1＝2×＝3－3，1－3nn所以an＝3(n≥2)．又a1＝3符合上式，故an＝3.2nn(2)证明因为an＝3，所以bn＝n.3222（n＋1）n－2n＋2n＋1*所以bn＋1－bn＝n＋1－n＝n＋1(n∈N)，3331＋32若－2n＋2n

8、＋1＜0，则n＞，2即当n≥2时，有bn＋1＜bn，144又因为b1＝，b2＝，故bn≤.3993Gothedistance探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解．an－1≤an，(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an≥an＋1，an－1≥