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1、第27卷第1期大学数学Vol.27,.12011年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb.2011谈谈高观点下的初等数学以基础代数学为例郭聿琦,王正攀,刘国新(西南大学数学与统计学院,重庆400715)关于初等数学与高等数学的关系,有人认为,初等数学是关于常量的数学,高等数学是关于变量的数学;也有人说,高等数学是初等数学的升华.关于这一关系,我们在长期的教学实践中形成了一个似乎更具可触摸性的认识:初等数学里的每件事情都不过是高等数学里的某一数学系统理论中的某一事实在某一具体的该系统中的具体表现,初等数学对这些作为具体表现的初
2、等事实的处理当然只能是就事论事.下面我们从基础代数学举例阐述这一认识,以窥视高观点下的初等数学之一斑,也为高观点下的初等数学的探究抛砖引玉.È例1令V为数域P上一n维线性空间,(1,2,,n),(1,2,,n)均为V的基底,T为前一基底到后一基底的过渡矩阵,即有如下的形式矩阵乘法表示(1,2,,n)=(1,2,,n)A,(1)V在(1,2,,n),(1,2,,n)下分别有如下坐标表示=(1,2,,n)X,=(1,2,,n)Y,nÈ其中X,YP,则相应于基底的过渡(1)有如下的坐标变换公式-1Y=AX.+È(i
3、)R(所有正实数构成的集合)关于如下定义的加法和数乘+È(a,bR)ab=ab,+kÈ(aR,kR)ka=a+++È构成实数域R上一线性空间(R;,,R),简记为R,且易知R是一维的,1为其零向量.因此,任++È一不等于1的正实数都构成R的一个基底.令a,b,cR,a1,b1.若(k)是从基底(a)到基底(b)的过渡矩阵,即(b)=(a)(k),(2)也即kb=ka=a,则bk=loga.又由k1c=k1a=a,k2c=k2b=b,[收稿日期]200804084大学数学第27卷得k1=logac,k2=logbc.因此,相
4、应于基底的过渡(2)的坐标变换1logaclogbc=logac=logablogab就是中学数学中对数的换底公式.È(ii)实数域R关于通常的加法和乘法构成其自身上一一维线性空间,数0为其零向量.因此,任一È不等于0的实数都构成该线性空间的一个基底.令a,b,cR,a0,b0.若(k)是从基底(a)到基底(b)的过渡矩阵,即(b)=(a)(k),(3)也即b=ka,则bk=.a又由c=k1a,c=k2b,得cck1=,k2=.ab因此,相应于基底的过渡(3)的坐标变换cacac==bbaab就是初等数学中的约分公式.È例2令P为一数域,f(x)P[x].记È{cCf(c
5、)=0}È为Sf(x),称其为f(x)(在C中)的根集,其中,C表示复数域.若p(x)为P上一不可约多项式,则Sp(x)Sf(x)Sp(x)Sf(x).(4)于是,我们有以下二事实:È(a)若p1(x),p2(x)均为P上的不可约多项式,则Sp(x)Sp(x)Sp(x)=Sp(x).1212È(b)若p(x)为P上一不可约多项式,且1È(cC)p(c)=p=0,(5)c则1È(bC)p(b)=0p=0.b又若nip(x)=aix,n2,i=0则n为偶数,nan-i=ai,i=0,1,,-1.2È(c)若p(x)为P上一不可约多项式,且È(cC)p(c)
6、=p(-b)=0,(6)则第1期郭聿琦,等:谈谈高观点下的初等数学以基础代数学为例5È(bC)[p(b)=0p(-b)=0].又若p(x)2,则p(x)只含偶次项(将p(x)写为分别由偶次项与奇次项作和得到的两个多项式之和讨论).È当P=R(R表示实数域)时,相应于以上事实(a),(b),(c),将分别得到事实(a1),(b1),(c1).为给È出(a1),我们先在一般数域P上引进一概念.令ÈAP={cC(f(x)P[x])f(c)=0}.È据(a),如下定义的AP上的二元关系~P.È{(a,b)APAP(p(x)P[x])a,bSp(x),p
7、(x)在P上不可约}È为一等价关系.称AP上的~P类为P共轭类.于是,关于任意f(x)P[x],Sf(x)是若干P共轭类的并.È(a1)R上任意多项式的根集均是若干R共轭类的并,又由(4)知,R上的次数大于1的首1不可约多项式必有如下形式:222x+2ax+a+b,b0.因此,我们也得到了初等数学中关于多项式的一个基本事实:实系数多项式的复根是共轭成对的.È(b1)令R上一具性质(5
