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《方差公式运用(章则名、张伟竣、李卓远、苏义豪)陈青丰11》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三届"撰益梶”初屮曇生赦曇小祢夂县（市、区）：温州市学校（全称）：温州市实验中学作者：章则名、张伟竣、李卓远、指导师:陈青丰论文题目：小定义中的大智慧——探究方差背后的奥妙二OO八年十月小定义中的大智慧——探究方差公式背后的奥妙[引言]在数学的统计学中，有很多浅显易懂的概念，如初中阶段学习的平均数、中位数、众数、概率、方差、标准差、频数、频率等•一般地，它们只是统计学中用来计算、比较的工具•但实际上，它们中的有些统计量能在实际的解题过程中起到意想不到的效果•今天，我们数学小组就以方差为例，来探索一下这类特殊巧妙方法背后的奥妙.[摘
2、要]方差公式在数学中常被人淡忘、忽视，但它的应用却十分广泛，我们小组这次就以解方程、证明不等式、证明等式、判断三角形形状等方差公式的用途作比照分析，拓展方差在数学中的重要作用，并举出一些十分巧妙地运用方差公式及其变形公式求解的典型例题进行分类解析•方差公式的运用往往能使同样的一道题由繁变简，由难变易，并能快速求解.方差公式在解题时并不常用，但一旦用上都算得上是十分巧妙而且经典的解题思路.我们小组特意摘录选取了儿道这样类型的比较典型的题Fl.希望共同探究研讨，并总结归纳这类问题在解题方法上的共同点.首先，我们还是要从方差公式本身入手，
3、给它进行一个简单的变形，使它更加精致便用，为运用它解题作好铺热.方差公式的变形：s2=^[(Xi—X)2+(X2—c)2H(Xn—x)2]丄(xj+x2?xn2)—X2nn证明：s2=-[(X1—x)2+(X2—c)2H(Xn—x)2]n[(xi2+x22dxn2)—2x(xi+x2xj+nx2)]n~[(xi2+x22dxn2)—nx')]h(xi2+x22dxn2)—x2nn方差公式的变形是用方差解题的至关重要的一步，虽然证明比较简单，但只有充分了解理清了它的变形，才会在接手这类问题后显得更加从容•下而，我们就通过儿个例题来具体
4、分析一下用方差公式变形解题的基本过程：一、应用方差证明不等式已知x+y+z=a,求证：x2+y2+z2^
5、a2.(俄罗斯竞赛题)证明：设x2+y2+z2=w.由方差公式，得：x,y,z的方差为：[(x2+y2+z2)—
6、(x+y+z)2]=
7、(w—
8、a2).VS2^0,.•・#(w-#a?)NO..•.wN*aS即：x2+y2+z2>^a2.分析：木题是用方丼解题的一道基本问题，突破口是将三数相加的值设为w,通过方丼公式得出结论•这题看似简单，但利用除方差公式以外的方法证明却往往没有思路，变得十分棘手•由此可见，耍把方差公式巧妙地运
9、用，不仅要对公式有很深刻的了解，而且还耍学会如何通过条件入手，女b看到“三数平方和”或是“三数相加”等条件，就可以把它同方差联系起來进行求解。二、应用方差解方程I解方程：4(&+陌+V^2)=x+y+z+9・(江西省南昌市竞赛题)解：设&=a,寸yT=b,jz~2=c.则：x=a2,y-b~+1,z二c'+2,原方程可化为4(a+b+c)=a2+b2+c2+12.a2+b~+c2=4(a+b+c)—12.由方差公式，得：a,b,c的方差为：S讨[(a2+b2+c2)(a+b+c)2]W[4(a+b+c)-12-£(a+b+c)2]
10、二-£(a+b+c-6尸TS空0,・•・(a+b+c—6)WO.・・・a+b+c二6.Z.S2=0,Aa=b=c=2.・・.x二4,y=5,z二6.经检验，x=4,y=5,z=6是原方程的解.分析：本题的关键在于将三个根号都用相应的未知数代替，然后由相应未知数的方差公式得出唯一的一种可能，最斤求出原值•从这里可以发现，找到划线处这种唯一的可能是尤为重要的一步，由此可以得出方差为零，三数相等.三、应用方差解方程II求满足方程x2+(y-l)2+(x-y)2=
11、的一切实数对(x,y).解：由题意，得：x'+(1—y)'+(y—x)遗•T
12、x+1-y+y-x二1,・x,l~y,y-x的xg,S2=^电--1x=1—y=y—x=x=g・12・・・x电,y=3•分析：实际上，本题中的“一切实数对”只是虚晃一枪，而最关键的一步是发现在X,(1-y),-(y-x)三数屮发现它们全部相加等于1,即得出它们的平均数为右这一特点，从而再次通过方羞求得唯一的实数对•所以有时发现的眼力与瞬间的灵感也是解题过程屮不可或缺的因素.已知实数a,b,c满足a=6—b,c2=ab~9,求证：a=b.(天津市竞赛题)证明：由已知得:a+b=6,a2+b2=36—2ab=36—2(『+9)=18—
13、2c2.由方差公式，得:实数a,b的方差为S冷[(a2+b2)-
14、(a+b)2]=
15、[(18-2c2)X62]=-c2.VS2>0,A-c2^0.・・・c二0.AS2=0.则：a二b.分析：此题为我们证明两个数相等提供了一种新的思路，
