运用图形间的等量关系

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1、运用图形间的等量关系图4.56【应用弦图解题】我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示）,有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。864864864122864图4.57我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提岀了这样一个问题：有一块长方形山，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里二300步，1步二5尺），已知长比宽少12步，问：它的长、宽共是多少步？杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57）,他是用四个面积为864平方歩的长方形拼成的。中间小正方形面积为12?平方步，整

2、个大正方形的面积为864X4+122=3600（平方步），边长为60步，即长方形的长、宽共共是60步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！有些竞赛题也可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”屮，就两次出现了应用弦图来解答的题Ho尤其是那-•道决赛题：“从一块正方形木板上锯下宽为］米的一个木条以后,剩下的面积是218平方米。锯下的木条面积是多少平方米？”1fi（少图4.立仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”,如图4.58o于是可知，人正方形的面积为乞4+（丄）18

3、'2'1301+―94529=云（平方米）大正方形的边长就是孚米，原正方形的边长就是（』+［）*2=季6626-2=—〔米），所以，锯下的木条面积就是6131—x—=62I（平方米）【解纵横交错的复杂题】把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在-•起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题H。例如0图4.59如图4.59,这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽12厘米,求阴影部分的总面积。由图可知，5个纸片的长二3个纸片的长+3个纸片的宽，所以2个纸片长二3个纸片宽1个纸片长二12X3F2=18（厘米

4、）进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米）阴影部分的总面积便是6X6X3=108（平方厘米）图4.61又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的人长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求人长方形的周长。”图4.60解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由5个小长方形的宽等于4个小长方形的长，可知其宽为长的彳。于是，我们可把下面的四个小长方形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）o所以，5个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之

5、和，即5个小正方形面积为45—9X4二20（平方厘米）每个小正方形的面积为204-5=4（平方厘米）显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米，小长方形的长便是2+f=2X-=2.5（厘米）54进而便可求得大长方形的周长为[2.5X4+（2.5+2）]X2=29（厘米）。此外，题目述可这样解答：图4.62因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个人的正方形（如图4.62）o人正方形面积是^X20=100（平方厘米）9它的边长便是10厘米，则小正方形的长为1

6、04-4=2.5（厘米）小正方形的宽为104-5=2（厘米）于是，原來的大长方形的周长就是（2.5X4+2.5+2）X2二29（厘米）。【用面积线段比的关系解题】利用而积比与线段比Z间的等量关系,常常能使复杂问题简单化。例如如图4也AABC的三条高交于P点，请讲-讲弟+PEBEPF+—亠CF=1,为什么成立？由图中可以看出，APBC和AABC是同底的两个三角形，所以Q^pbc=黒（等底的两个三角形面积的比，等于对应的高的比）同理,还能得到字空'△ABCPE$APABPECF所以,丄迄p—PD_PE亠PFs^；

7、"aF"beCT而学竺^APCA+QaabcPFCF=lo乂如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题冃:252030图464“如图4.64,—个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的而积是20公由、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的而积是多少公亩？”图屮可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的而积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的而积比，也等于它们宽的比。设阴影部分面积为x公亩，由于左右两组长方形血积之比，都等于相同的宽之比，所以20:30=25:

8、x=37.530x25x=20即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。