反三角函数学习指导

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1、本章主要内容：学习反三角函数的概念、图像和性质，利用反三角函数表示角，掌握反三角函数的化简求值等运算。木章知识要点：TTTT(1)确切理解反正弦函数的意义。arcsinx表示一个在［-—，—］上的角，这个角的正22JI弦值为X。因此我们有：sin(arcsinx)=€［-1,11arcsin(sinx)=x,xe［——122同理我们可以理解和定义其它反三角函数。(2)反三角函数的图像可依据三角函数在主值区间上的函数图像，再利用互为反函数的两个函数图像关于j=x对称的关系画出來。由图像研究反三角函数的性质：y-arcsinx,xe［一1,

2、1］是奇两数且为增函数，arcsin(-x)=-arcsinx,y=arccosx,兀w［-1,1］是非奇非偶函数且为减函数arccos(-x)-7t-arccosx,y=arctanx,xeR是奇函数且为增函数，arctan(-x)=-arctanx,例题讲析：例1：画岀下列函数的图像(1)y=arcsin(sinx)函数是以2兀为周期的周期函数TTTT当xg［——，—］时，arcsin(sinx)=x当兀w［―,—1H寸，arcsin(sinx)=7T-x22其图像是折线，如图所示：(2)y=sin(arccosx),xg[-1,1

3、]y=Jl-cos2(arccosx)=\-x2(x<1)其图像为单位圆的上半圆(包括端点)如图所示：、X+]例2:计算:arctanx-arccot:,(x<-1)x-l解：设arctanx=4则tana=兀，由兀<一1,得ag(,)24设arccot=0,则tan0=-一->0,得0e(0,—)x-1x+12从而tan(«-/?)=tana~tan=1,又a-f})故原式=a-(3=~—1+tanatan044讲评：在这里提醒同学们注意一定要考虑a-0的范围，在得到tan(a-0)=l后，防止出TTn现a-6=-或cc—p=k7v

4、+—、kcZ等错谋。4477i53tt例3：已知cos2q=一.ag（0,—）,sin0=,0g（兀,一）求©+0（用反三角函252132数表示）分析：可求Q+0的某一三角函数值，再根据Q+0的范围，利用反三角函数表示角。jr解：Tag(0,—)/•sina=21-cos2a34=—,cosa=—255Q[C又T0w(^,—)•:cos0=-Jl-sin2/3=2y13sin(«+0)二sinacos卩+cos(7sin.々3,12、4/5、5651351365・・・qe(0,-),sin^z=-<—：.O

5、一-,0g0=7r+arcsin—13213X*.*0

6、兀，二兰），故得出正确的答案：a+（3=7t+arcsin一265171例4：求y二一sin2x,xw[,——]的反函数242解：T

7、域和单调区间；（2）解不等式：.广（兀）

8、-—丄］时，g（x）=x2-x单调递减，y=arccosx单调递减，从而/⑴递增・・・/(X)的单调递增区间是[上<1,丄],同理f(x)的单调递减区间是(2)/(x)4x2-—4・••不等式的

9、解集为（-丄丄）26讲评：在研究反三角函数的性质和解有关反三角函数的不等式时，要特别注意反三角函数的定义域，值域及性质对解题过程和计算结果的影响。反三角因数练习题-.填空题:函数y=arccos(sinx)